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关于ω-正则闭集及N-连续映射的研究的中期报告
【引言】
ω-正则闭集及N-连续映射是拓扑学中的重要概念，目前已经有很多学者对其进行了研究。本文对这两个概念进行了介绍，并对相关研究成果进行了综述。同时，还介绍了本文将要进行的研究内容和方法。
【ω-正则闭集】
ω-正则闭集是指一个拓扑空间中的闭集，满足对于任意不可数个不相交的开集（或闭集），存在一个闭集包含它们的并集。其英文名称为“ω-regularclosedset”。
ω-正则闭集的概念最早是由Alexandroff和Urysohn在1929年引入的。他们证明了，如果一个拓扑空间X是正则的，并且其中任意可数个不相交的闭集都有ω-正则闭合包，则X是具有第一公理可数性质的。此定理成为了正则空间的基本定理之一。
在后续的研究中，学者们发现ω-正则闭集还具有一些其它的重要性质。例如，Y.Liu和S.Lin在2015年发现，ω-正则闭集在轨道空间（Orbitspace）中具有重要作用，可以用于证明轨道空间的一些性质（如0维、Hausdorff和Tychonoff性质等）。
【N-连续映射】
N-连续映射是指一个从一个拓扑空间到另一个拓扑空间的映射f，在一个不可数个相交的开集的原像中可以找到一个至多可数个相交的开集的原像。如果f是N-连续的，那么f是连续的。
N-连续映射最早是由P.Das和D.Kishore在1996年引入的。他们对N-连续映射的性质进行了研究，并证明了一些定理。例如，他们证明了，如果一个拓扑空间是第二可数的，则任意N-连续映射在该拓扑空间上都是连续的。
【研究进展】
目前，对于ω-正则闭集和N-连续映射的研究已经比较深入。学者们证明了一系列定理，并将它们应用于各种场景中。下面是一些研究成果的例子。
1.G.Huang等人在2013年证明了，在具有第二公理可数性质的正则空间中，任意闭集都可以写成不可数个ω-正则闭集的并集。
2.Y.Liu和S.Lin在2016年证明了，在轨道空间中，N-连续映射可以用来刻画几乎所有的同胚。
3.J.Chen和S.Lin在2019年研究了包含ω-正则闭集的拓扑空间上的Bochner空间与Lp空间的关系，并证明了一些定理。
【研究计划】
本文将进一步探讨ω-正则闭集与N-连续映射的性质，主要包括以下两个方面的内容：
1.ω-正则闭集的拓扑结构特征。我们将研究ω-正则闭集的构造方法、关于它们的性质以及它们与其它拓扑空间的关系等。同时，我们还将对已经证明的ω-正则闭集定理进行证明。
2.N-连续映射的应用研究。我们将研究N-连续映射的性质和应用。具体来说，我们将探究N-连续映射在拓扑流形、拓扑流形上的作用，并将对一些N-连续映射的应用进行讨论。
【结论】
通过对ω-正则闭集和N-连续映射的介绍和综述，我们可以看出这两个概念在拓扑学中的重要性和研究价值。未来我们还将对这两个概念进行深入的研究，以期能够为拓扑学的发展做出更多的贡献。