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半模范畴中的极限、差模与内射性的中期报告
半模范畴是一个广义的范畴，其中并不要求每一对对象都有唯一的态射。因此，在半模范畴中进行极限、差模和内射性的研究需要重新思考这些概念的定义。本篇文章将就半模范畴中的极限、差模和内射性进行中期报告。
1.极限
在传统的范畴中，极限是一个对象集合中的极小上界或极大下界。在半模范畴中，这个定义并不适用。因此，我们需要重新定义极限。
在半模范畴中，定义一个二元关系“小于等于”，对于每一个对象集合都有一个小于等于偏序集。对于集合S中的任意一对对象X，Y和一组态射Fi:X→Z(i∈I)，如下三种情况之一成立：
1.X≤Y且所有j∈I，Fi可以分解为X→Y和Y→Z的复合；
2.Y≤X且所有j∈I，Fi可以分解为Y→X和X→Z的复合；
3.这两个对象没有偏序关系。
满足这个条件的最小对象Y称为集合S中这些对象X的极限，记作limFi:X→Z。
2.差模
在传统的范畴中，差模是一个具有某种运算的对象。在半模范畴中，我们需要重新定义差模的概念。
设f:X→Y是一个态射，它的核有一个常规的构造Kerf，并且X是一个半模。为了使Kerf成为差模，我们需要保证它满足以下条件：
1.对于X和Y中任意对象z，在Kerf中存在一个核中的前像，即一个态射x:z→X，使得f(x)=0；
2.对于任意一个满足f(x)=0的态射x:z→X，存在唯一的态射y:z→Kerf，使得x=Kerf(y)。
如果Kerf满足上述条件，则称Kerf为差模。
3.内射性
在传统的范畴中，内射性是一个对象上的属性，表示它向所有对象的态射都是单态射。在半模范畴中，我们也需要重新定义内射性。
在半模范畴中，一个对象X被称为内射的，如果它对于任意的态射f:X→Y和根据某个偏序集定义的极限limFi:X→Z，都存在一个态射h:Z→Y，使得f=h∘limFi。这里的偏序集是指对于Y中任意一对对象y1,y2，它们之间存在一个偏序关系y1≤y2。
在半模范畴中，内射性并不是一个所有对象都具有的属性。因此，需要将内射性作为额外的条件来进行讨论和研究。
以上就是半模范畴中的极限、差模和内射性的中期报告。半模范畴作为一类更加广义的范畴，其概念和性质都需要重新定义和探讨。未来的研究将需要进一步探索这些概念和性质的应用和发展。