双色有向图的指数的任务书.docx

双色有向图的指数的任务书
问题描述：
给定一个双色有向图，即图中的节点被分为两种颜色A、B，每条有向边都从一个颜色的节点指向另一个颜色的节点。定义一个从A节点到B节点的路径指数为这个路径中所有节点的编号相乘所得的乘积，如果没有从A节点到B节点的路径，则指数为0。请编写一个程序，输入双色有向图的描述，求从A节点到B节点的所有路径指数的和。
输入格式：
第一行两个整数n,m，表示图中所含节点和有向边数。
接下来m行，每行两个整数x,y，表示存在一条从节点x指向节点y的有向边（节点从1编号到n）。
最后一行两个整数a,b，表示求从节点a到节点b的所有路径指数的和。
输出格式：
一个整数，表示从a到b的所有路径指数的和。
数据范围：
1≤n≤30
0≤m≤n(n−1)/2
1≤a,b≤n
输入样例：
44
12
23
34
42
14
输出样例：
4
算法1
暴力算法（DFS）
我们可以从A节点开始进行DFS，对于每个到达的节点，如果该节点是B节点，则记录下来该路径的指数，最后将所有到达B节点的路径指数求和即可。最后，我们给出这个算法的Python3代码
时间复杂度分析：该算法的时间复杂度很高，最坏情况下为O(n!)，无法在本题中通过所有测试数据。
算法2
记忆化搜索法
如果我们使用DFS来暴力求解，那么在每次遇到相同的节点时，我们都会遍历一遍所有它的出边，这是有很多重复工作的，因此可以考虑记忆化搜索来减少搜索时间。
我们可以采用一个记忆化数组，记录下达到不同节点时所经历的路径，从而避免重复遍历相同节点，例如：
经过1,2,3,4
经过1,2,4
经过1,2,3,4
可以看到，当我们到达3节点时，它已经被访问过了，我们就可以直接跳转到到达4节点的路径，这样可以避免重复遍历，节省时间。
时间复杂度：该算法的最坏时间复杂度为O(n^3)，但是因为使用了缓存的记忆化搜索，最坏时间的情况几乎不可能出现。因此该算法可以成功通过本题所有的测试数据。
关于记忆化搜索法的Python3代码，请见下文：
C++和Python3代码