第1讲导数的概念及运算.doc

第五章导数及其运用

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定积分的应用

第1讲导数的概念及运算

★知识梳理★

1.用定义求函数的导数的步骤.
（1）求函数的改变量Δy；（2）求平均变化率.（3）取极限，得导数（x0）=.
2.导数的几何意义和物理意义
几何意义：曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是过点（x0，y0）的切线的
物理意义：若物体运动方程是s=s（t），在点P（i0，s（t0））处导数的意义是t=t0处
的
解析：斜率.；瞬时速度.
3.几种常见函数的导数
（为常数）；（）；
；；
；；
；.
解析：
4.运算法则
=1\*GB3①求导数的四则运算法则：
；；.
解析：；
=2\*GB3②复合函数的求导法则：或

★重难点突破★

1.重点：理解导数的概念与运算法则，熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法
2.难点：切线方程的求法及复合函数求导
3.重难点：借助于计算公式先算平均增长率,再利用函数的性质解决有关的问题.
（1）平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。
问题1.比较函数与,当时,平均增长率的大小.
点拨:解题规律技巧妙法总结:计算函数的平均增长率的基本步骤是
(1)计算自变量的改变量
(2)计算对应函数值的改变量
(3)计算平均增长率:
对于,又对于,
故当时,的平均增长率大于的平均增长率.
（2）求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则,
问题2.已知,则.
点拨：复合函数求导数计算不熟练,其与系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:.
设,,则
.
（3）求切线方程时已知点是否切点至关重要。
问题3.求在点和处的切线方程。
点拨：点在函数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是在处的函数值；
点不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．切忌直接将，看作曲线上的点用导数求解。

即过点的切线的斜率为4，故切线为：．
设过点的切线的切点为，则切线的斜率为，又，
故，。
即切线的斜率为4或12，从而过点的切线为：

★热点考点题型探析★

考点1:导数概念
题型1.求函数在某一点的导函数值
[例1]设函数在处可导，则等于
A．B．C．D．
【解题思路】由定义直接计算
[解析].故选
【名师指引】求解本题的关键是变换出定义式
考点2.求曲线的切线方程
[例2](高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图，函数的图象在点P处的切线方程是 ，则=.
【解题思路】区分过曲线处的切线与过点的切线的不同，后者的点不一定在曲线上.解析:观察图形,设,过P点的切线方程为
即
它与重合,比较系数知:
故=2
【名师指引】求切线方程时要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标．

题型3.求计算连续函数在点处的瞬时变化率
[例3]一球沿一斜面从停止开始自由滚下，10s内其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在t=5时的加速度.
【解题思路】计算连续函数在点处的瞬时变化率实际上就是在点处的导数.
解析：加速度v=
(10+Δt)=10m/s.
∴加速度v=2t=2×5=10m/s.
【名师指引】计算连续函数在点处的瞬时变化率的基本步骤是
1.计算
2.计算

【新题导练】.
1.曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是.
解析：曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与轴所围成的三角形的面积是.
点拨::与切线有关的问题,应有运用导数的意识,求两曲线的交点坐标只要联立解方程组即可.
2.某质点的运动方程是，则在t=1s时的瞬时速度为 （）
A．－1 B．－3 C．7 D．13
解:B点拨:计算即可
3.已知曲线C1:y=x2与C2:y=－(x－2)2,直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程.

解：设l与C1相切于点P(x1,x12),与C2相切于Q(x2,－(x2－2)2)
对于C1：y′=2x,则与C1相切于点P的切线方程为
y－x12=2x1(x－x1),即y=2x1x－x12 ①
对于C2：y′=－2(x－2),与C2相切于点Q的切线方程为y+(x2－2)2=－2(x2－2)(x－x2),即y=－2(x2－2)x+x22－4 ②
∵两切线重合，∴2x1=－2(x2－2)且－x12=x22－4,解得x1=0,x