【原创】 解析几何专题讲座(理科).doc

第六讲解析几何
第一节曲线与方程
曲线与方程是解析几何的基本概念,在近年的高考试题中,重点考查曲线与方程的关系,考查曲线方程的探求方法,多以综合解答题的第⑴小题的形式出现,就这部分考题来说,属于中档题,难度值一般在之间.
考试要求⑴了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
⑵掌握一般曲线(点的轨迹)方程的求解方法和用定义法求圆锥曲线方程.
题型1曲线与方程
例设方程的解集非空.如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确,给出以下四个命题：①曲线上的点的坐标都满足方程；②坐标满足方程的点有些在上,有些不在上；③坐标满足方程的点都不在曲线上；④一定有不在曲线上的点,并且其坐标满足方程.那么正确命题的个数是().
A.B.C.D.
点拨：直接用定义进行判断.
解：“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确,意味着“坐标满足方程的点不都在曲线上”是正确的,即一定有不在曲线上的点,并且其坐标满足方程,∴④正确；曲线上的点的坐标可以有不满足方程的,∴①错；若只有一解,则知②错；“都”的否定是“不都”,而不是“都不”,∴③错.故选A.
易错点：定义把握不准确,关键字词认识不到位,概念理解不深刻,均有可能错选其它选项.

A.

C.

B.

D.

图
变式与引申：⑴方程的曲线形状是().

⑵已知定点不在直线：上,则方程表示一条(A).
A.过点且平行于的直线B.过点且垂直于的直线
C.不过点但平行于的直线D.不过点但垂直于的直线
题型2代入法(相关点法)求曲线方程
例已知点,点、分别在轴、轴上,且,,当点在轴上运动时,求点的轨迹方程.
点拨：由确定与的坐标关系,由建立动点与、的坐标关系,用代入法求轨迹方程.
解：设,,,又,则,,.由,得①.由,得,∴,,即,,代入①得,,∴,当时,三点、、重合,不满足条件,∴,故点的轨迹方程为.
易错点：忽视轨迹方程中的.
图

变式与引申：⑴已知为坐标原点,点、分别在轴、轴上运动,且,动点满足,求动点的轨迹方程.
⑵如图,从双曲线上一点引直线的垂线,垂足为,
求线段的中点的轨迹方程.
题型3待定系数法、直接法求曲线方程
例(2009年海南理卷第20题)已知椭圆的中心为直角坐标系的原点,焦点在轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是和.
⑴求椭圆的方程；
⑵若为椭圆上的动点,为过且垂直于轴的直线上的点,,求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
点拨：问题⑴用待定系数法求椭圆的方程；问题⑵可将点、的坐标代入满足的关系式中,得到点的轨迹方程(含参数),最后对进行分类讨论,说明其轨迹是什么曲线,并指出变量的取值范围.
解：⑴设椭圆的标准方程为,半焦距为,则,解得,,
∴.故椭圆的标准方程为.
⑵设,其中.由已知及点在椭圆上可得.整理得,其中.
①时,化简得,所以点的轨迹方程为,轨迹是两条平行于轴的线段.
②时,方程变形为,其中.当时,点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分；当时,点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；当时,点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆.
易错点：第⑵小题中忽视方程的变量的限制；讨论方程所表示的曲线时,标准不明确,分类混乱,会导致错误发生.③讨论方程所表示的曲线时,一般是以二次项系数为零或相等的参数值来进行分类,做到不重复不遗漏.
图

变式与引申：20090423
(2009年浙江理卷第21题)已知椭圆：的右顶点为,过的焦点且垂直长轴的弦长为.
⑴求椭圆的方程；
⑵设点在抛物线：上,在点处的切线与交于
点、.当线段的中点与的中点的横坐标相等时,求的最小值.
题型4定义法求曲线方程与实际应用问题

川

图
冰
已
融
化
区
域

例(2010年湖南理卷第19题)为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距的、两点各建一个考察基地.视冰川面为平面形,以过、两点的直线为轴,线段的的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系(如图所示).在直线的右侧,考察范围为到点的距离不超过区域；在直线的左侧,考察范围为到、两点的距离之和不超过区域.
⑴求考察区域边界曲线的方程；
⑵如图所示,设线段,是冰川的部分边界线(不考虑其他边界线),
当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动,
以后每年移动的距离为前一年的倍,求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间.
点拨：通过审题,构建圆与椭圆的数学模型,运用圆的知识及椭圆定义求出考察区域边界曲线、的方程,但需注意变量的取值范围.对于第⑵问,先写出直线、的方程,然后依题意求出与平行、且与曲线相切的直线的方程,再综合运用平行直线间的距离公式、等比数列求和公式、解不等式等知识求解.