方波的傅里叶分解与合成.doc

课题方波的傅立叶分解与合成

教学目的1、用RLC串联谐振方法将方波分解成基波和各次谐波，并测

量它们的振幅与相位关系。

2、将一组振幅与相位可调正弦波由加法器合成方波。

3、了解傅立叶分析的物理含义和分析方法。

重难点1、了解串联谐振电路的基本特性及在选频电路中的应用；

了解方波的傅立叶合成的物理意义。

2、选频电路将方波转换成奇数倍频正弦波的物理意义。

教学方法讲授与实验演示相结合。

学时3学时。

一．前言

任何一个周期性函数都可以用傅立叶级数来表示，这种用傅立叶级数展开

并进行分析的方法在数学、物理、工程技术等领域都有广泛的应用。例如要消除

某些电器、仪器或机械的噪声，就要分析这些噪声的主要频谱，从而找出消除噪

声方法；又如要得到某种特殊的周期性电信号，可以利用傅立叶级数合成，将一

系列正弦波形合成所需的电信号等。本实验利用串联谐振电路，对方波电信号进

行频谱分析，测量基频和各阶倍频信号的振幅以及它们之间的相位关系。然后将

此过程逆转，利用加法器将一组频率倍增而振幅和相位均可调节的正弦信号合成

方波信号。要求通过实验加深理解傅立叶分解和合成的物理意义，了解串联谐振

电路的某些基本特性及在选频电路中的应用。

二.实验仪器

FD-FLY-I傅立叶分解合成仪，DF4320示波器，标准电感，电容箱。

三.实验原理

任何具有周期为T的波函数f(t)都可以表示为三角函数所构成的级数之和，、

即：

f(t)=

1

2

a0+







1

)sincos(

n

nn

tnbtna

其中：T为周期，ω为角频率。ω=

2π

T

；第一项为直流分量。

图1方波

所谓周期性函数的傅立叶分解就是将周期性函数展开成直流分量、基波和所

有n阶谐波的迭加。

如图所示的方波可以写成：

f(t)={

）（0

1

)

2

0(





t

T

h

T

th

此方波为奇函数，它没有常数项。

数学上可以证明此方波可表示为：

f(t)=

4h

π

(sintωt+

1

3

sin3ωt+

1

5

sin5ωt+

1

7

sin7ωt……)

=

4h

π

tn

n

n

12sin

12

1

1























（a）方波傅立叶分解的选频电路：

实验线路图如图所示。这是一个简单的RLC电路，其中R、C是可变的，L

取0.1H。

当输入信号的频率与电路的谐振频率相匹配时，此电路将有最大的响应，谐

振频率ω0为：

ω0=

LC

1

如果我们调节可变电容C，在nω0频率谐振，我们将从此周期性波形中选择

出这个单元。它的值为：

V（t）=bnsinnω0t

这时电阻R两端电压为：

VR(t)=I0Rsin(nω0t+φ)

此式中φ=

R

X

tg

1

，X为串联电路感抗和容抗之和

I0=

bn

Z

，Z为串联电路的总阻抗。

在谐振状态X=0

此时，阻抗Z=r+R+RL+RC=r+R+RL

其中，r为方波或三角波电源的内阻；R为取样电阻；RL为电感的损耗电阻；

RC为标准电容的损耗电阻。（RC值常因较小而忽略）

（b）方波傅立叶合成：

对振幅和相位连续可调的1KHZ

，

3KHZ，5KHZ，7KHZ四组正弦波，如果将这四

组正弦波的初相位和振幅按一定要求调节好以后，输入到加法器叠加后，就可以

合成出方波。

四．实验内容及步骤

1．方波的傅立叶分解

（1）求RLC串联电路对1KHZ，3KHZ，5KHZ正弦波谐振时的电容C

1

，C

3

，C

5

，

并与理论值进行比较

（2）将1KHZ方波进行频谱分解，测量基波和n阶谐波的振幅和相对相位。

2．方波的傅立叶合成

（1）用李萨如图形反复调节各组移相器，使1KHZ

，

3KHZ，5KHZ，7KHZ正弦波同

位相。

调节方法是示波器X轴输入1KHZ正弦波，而Y轴输入1KHZ

，

3KHZ，5KHZ，

7KHZ正弦波在示波器上显示如下波形时：

Y输入1KHZ

3KHZ5KHZ7KHZ

此时，基波和各阶谐波初相位相同。

（2）调节1KHZ

，

3KHZ，5KHZ，7KHZ正弦波振幅比为：1:

1

3

:

1

5

:

1

7

。

（3）将1KHZ

，

3KHZ，5KHZ，7KHZ正弦波逐次输入加法器，观察合成波形变化，

最后可看到近似方波图形。

五．实验注意事项

1、选频电路接线时，方波信号源的地线必须与示波器的地线连接在一起。

教师必须检查每个学生的接线。