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备件配置优化问题

摘要本文讨论了在一定总费用下，如何配置各部件的备件使系统的可靠性最大的问题。
对问题一，
关键词动态优化；微分博弈；最短路径问题；备件配置

问题提出

系统由若干部件串联而成，只要一个部件出现故障，系统就不能正常工作。为了提高系统可靠性每个部件都装有备件，一旦原部件出线故障，备件就自动进入系统。显然，备件越多系统可靠性越大，但费用也越高。在一定的总费用下，如何配置各部件的备件使系统的可靠性最大是一个实际问题。
通过建立相关数学模型，解决如下问题：
问题一：由个部件串联的系统，当部件配置个备件时，该部件正常工作的概率及费用均已知，在总费用不超过给定值的条件下，建立使系统的可靠性最大的模型。
问题二：设且每个部件至多配置个备件，部件配置个备件时正常工作的概率及费用如表1，总费用不超过，如何配置各部件的备件数使系统的可靠性最大。
表1：备件数量与费用关系图
备件数量备件数量123123部件号
10.50.70.9部件号
124520.70.80.9235630.80.93123
二、问题分析

该问题属于离散动态优化问题。动态规划模型是解决该问题的有效方法。
对问题一：将个部件配置备件的次序划分阶段，根据状态变量和决策变量写出状态转移方程。
三、基本假设

假设系统的可靠性仅与配置备件的数量有关；
假设备件与原部件完全相同；

四、符号表示

符号表示含义部件数量部件号备件数量部件配置个备件时正常工作的概率部件配置个备件的费用总费用部件配置备件时所容许的费用状态状态下部件到组成的子系统的最大正常工作概率
五、模型建立与求解
按照对个部件配置备件的次序划分阶段，部件配置备件的数量为决策。根据费用的限制，设部件配置备件时所容许的费用状态为，则状态转移方程为
设状态下部件到组成的子系统的最大正常工作概率为。则有递推公式：

终端条件为
六、模型求解
七、模型评价与推广
模型优点：能够得到全局最优解。模型将全过程化为一系列结构相似、相互关联的子过程，每个字过程的变量个数大大减少，约束集合也简单得多即使在目标函数和状态转移律无解析表达式时，也可用穷举法求解。
模型缺点：
模型推广：动态规划模型常用来求解经济管理中的货物存贮、设备更新、资源分配、任务均衡、水库调度、系统可靠性等问题，在离散系统最优控制中也有广泛应用。

参考文献
[1]姜启源，谢金星，叶俊，数学模型(第四版)[M]，北京:高等教育出版社