五点差分法(matlab)解椭圆型偏微分方程.doc

用差分法解椭圆型偏微分方程
—(Ｕｘx+Uyｙ）=（pｉ＊pi－1)ｅ^xsiｎ（pi*y)0＜x＜2;0<y＜1
U（0，ｙ）＝ｓin(pi*ｙ),U（２,y）=e^2siｎ（pi＊y）；0=〈y〈＝1
U（x,0)=０，Ｕ(x,1）=０;0=〈ｘ<=２
先自己去瞧一下关于五点差分法得理论书籍
Matlab程序:
unｃｔioｎ[peuｘyk]=wｕdiａｎchａfｅnfa（ｈ，ｍ，n,ｋｍax,ep）
％g—s迭代法解五点差分法问题
%kmax为最大迭代次数
%m，n为x,y方向得网格数,例如(２-0）／０、01=200;
%e为误差,p为精确解
symstemp；
ｕ＝zeros(n＋1，ｍ+1）；
x=0＋（0：m）*h；
y=0+(0：n）*ｈ;
for(i=１：n+1）
u(i，１)=sin（pi*y（i)）;
ｕ（i，m＋１)=exp(1)＊ｅxp（1）＊siｎ(ｐi＊y(ｉ));
end
fｏr（ｉ＝1:n）
for(j=1:m)
ｆ(i,j）＝（pi＊pi-1)＊ｅxp（x(ｊ))＊ｓin(pi*y（i））；
ｅｎd
eｎd
t=zｅros(n—1，ｍ-1）;
for(ｋ=1:kｍax)
for（i＝2：ｎ）
foｒ（j=2:m)
teｍｐ=h*ｈ*f(ｉ，ｊ)/4+（u(ｉ，ｊ+1)+u（i,j—1）+u（i+1，j)+u(i－1,j）)/4;
ｔ(i，ｊ)=（temｐ—ｕ（ｉ，j))＊(temp-ｕ（ｉ,ｊ)）；
u(ｉ，j)＝tｅmp；
end
end
t（i,j)＝sqｒｔ(t(ｉ，j))；
ｉf（k>kmax）
brｅak;
end
if（maｘ(max(ｔ)）<eｐ）
break;
enｄ
end
foｒ(i＝1：n+1）
for（j=1：m+1）
p（ｉ，j）=eｘp（ｘ（j)）＊sｉn（ｐi＊y(i)）；
ｅ(i,j）=abｓ（ｕ(ｉ,ｊ）—ｅxp（ｘ（j））*sin（pｉ＊ｙ(i）)）；
enｄ
End
在命令窗口中输入：
［ｐｅuｘyｋ]＝wudianｃｈafeｎfa（0、1,20，１0，10０００，1e-6)k=1４７
sｕｒf（ｘ，ｙ，u);
xｌaｂel(‘ｘ’);yｌabel（‘y’）；ｚｌａbel(‘u');
Titlｅ（‘五点差分法解椭圆型偏微分方程例1'）
就可以得到下图

ｓｕｒｆ(x,ｙ，ｐ）

ｓｕｒf(x，y,e）

[ｐｅuｘyk］=wudianchafenfａ（0、０5,40，20，1０000,1ｅ—6)

[pｅuxyk]=wudianchafeｎfa(0、０25,80，40，1０0０0，1e-6）

为什么分得越小,误差会变大呢？
我们试试运行：
［peuxyｋ]=wｕdｉanchaｆｅnｆａ（0、0２５，8０，４0，10００0,1ｅ-８)
K＝2１6４
suｒｆ(x，ｙ，e）

误差变小了吧
还可以试试
[peuｘyk］=wudｉanchafenfa(０、025，80,40，1０000，1ｅ-10)
Ｋ=３355

误差又大了一点
再试试
［ｐeuxyk]=wｕdiａnchafenfa(0、0２5，80，４0，10０00,1e-11）k=３９52

误差趋于稳定
总结:
最终得误差曲面
与网格数有关，也与设定得迭代前后两次差值（ep,瞧程序）有关；固定网格数，随着设定得迭代前后两次差值变小，误差由大比变小，中间有一个最小值，随着又增大一点，最后趋于稳定.
也许可以去研究一下那个误差最小得地方或者研究趋于稳定时得临界值。