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高中数学弦切角定理的证明方法

高中数学弦切角定理的证明方法 弦切角是几何中的定理，那它们是怎么被证明的呢?证明的方法是怎样的呢?下面就是百分网小编给大家整理的弦切角定理证明方法内容，希望大家喜欢。 弦切角定理证明方法一 1)连OC、OA，则有OC⊥CD于点C。得OC‖AD，知∠OCA=∠CAD。 而∠OCA=∠OAC，得∠CAD=∠OAC。进而有∠OAC=∠BAC。 由此可知，0A与AB重合，即AB为⊙O的直径。 (2)连接BC，且作CE⊥AB于点E。立即可得△ABC为Rt△，且∠ACB=Rt∠。 由射影定理有AC²=AE*AB。又∠CAD=∠CAE，AC公用，∠CDA=∠CEA，得△CEA≌△CDA，有AD=AE，所以，AC²=AB*AD。 第一题重新证明如下： 首先证明弦切角定理，即有∠ACD=∠CBA。 连接OA、OC、BC，则有 ∠ACD+∠ACO=90° =(1/2)(∠ACO+∠CAO+∠AOC) =(1/2)(2∠ACO+∠AOC) =∠ACO+(1/2)∠AOC, 所以∠ACD=(1/2)∠AOC， 而∠CBA=(1/2)∠AOC(同弧上的圆周角等于圆心角的一半)， 得∠ACD=∠CBA。 另外，∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD=∠CAB， 所以有∠CAB+∠CBA=90°，得∠BCA=90°，进而AB为⊙O的直径。 弦切角定理证明方法二 证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。 ∵∠TCB=90-∠OCB ∵∠BOC=180-2∠OCB ∴,∠BOC=2∠TCB(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半) ∵∠BOC=2∠CAB(圆心角等于圆周角的两倍) ∴∠TCB=∠CAB(定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角) 证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧. 求证：(弦切角定理) 证明：分三种情况： (1)圆心O在∠BAC的.一边AC上 ∵AC为直径，AB切⊙O于A， ∴弧CmA=弧CA ∵为半圆, ∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角(2)圆心O在∠BAC的内部. 过A作直径AD交⊙O于D, 若在优弧m所对的劣弧上有一点E 那么，连接EC、ED、EA 则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB ∴∠CEA=∠CAB ∴(弦切角定理) (3)圆心O在∠BAC的外部, 过A作直径AD交⊙O于D 那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90 ∴∠CDA=∠CAB ∴(弦切角定理) 弦切角定理证明方法三 若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 应用举例 例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60°,AB=a求BC长. 解：连结OA，OB. ∵在Rt△ABC中,∠C=90 ∴∠BAC=30° ∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半) 例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求证：EF∥BC. 证明：连DF. AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC ⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDC EF∥BC 例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C， 求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD. 证明：∵AB是⊙O直径 ∴∠ACB=90 ∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B， ∵MN切⊙O于C ∴∠MCA=∠B， ∴&