中考求阴影部分面积.doc

中考求阴影部分面积
【知识概述】
计算平面图形得面积问题就是常见题型,求平面阴影部分得面积就是这类问题得难点。不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形与圆、圆弧等基本图形组合而成得,在解此类问题时,要注意观察与分析图形,会分解与组合图形。现介绍几种常用得方法。
一、转化法
此法就就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则得图形转化成面积相等得规则图形,再利用规则图形得面积公式,计算出所求得不规则图形得面积。
例1、如图1,点C、D就是以AB为直径得半圆O上得三等分点,AB=12,则图中由弦AC、AD与围成得阴影部分图形得面积为_________。

分析:连结CD、OC、OD,如图2。易证AB//CD,则得面积相等,所以图中阴影部分得面积就等于扇形OCD得面积。易得,故。

例2、如图,A就是半径为1得⊙O外得一点,OA=2,AB就是⊙O得切线,B就是切点,弦BC∥OA,连结AC,则阴影部分得面积等于_______.
分析:一个图形得面积不易或难以求出时,可改求与其面积相等得图形面积,便可以使原来不规则得图形转化为规则图形。
解:连结OB、OC.
∵BC∥OA,∴S△ABC=S△OBC,∴S阴影=S扇形OBC.
∵AB就是⊙O得切线,∴∠BOA=90°,
∵OB=1,OA=2,∴∠OBC=∠BOA=60°,
∴∠BOC=,∴扇形OBC就是圆得.
∴S阴影=S扇形OBC=
二、与差法
有一些图形结构复杂,通过观察,分析出不规则图形得面积就是由哪些规则图形组合而成得,再利用这些规则图形得面积得与或差来求,从而达到化繁为简得目得。
例3、如图3就是一个商标得设计图案,AB=2BC=8,为圆,求阴影部分面积。
分析:经观察图3可以分解出以下规则图形:矩形ABCD、扇形ADE、。所以,。

三、重叠法
就就是把所求阴影部分得面积问题转化为可求面积得规则图形得重叠部分得方法。这类题阴影一般就是由几个图形叠加而成。要准确认清其结构,理顺图形间得大小关系。
例4、如图4,正方形得边长为a,以各边为直径在正方形内作半圆,求所围成阴影部分图形得面积。

解:因为4个半圆覆盖了正方形,而且阴影部分重叠了两次,所以阴影部分得面积等于4个半圆得面积与与正方形面积得差。故。
代数法:
析解:设每片叶形面积为x,每个空白部分得面积为y,
由面积关系列出方程组:
得,
所以
四、补形法
将不规则图形补成特殊图形,利用特殊图形得面积求出原不规则图形得面积。
例5、如图5,在四边形ABCD中,AB=2,CD=1,,求四边形ABCD所在阴影部分得面积。
图2

解:延长BC、AD,交于点E,因为,所以,又,易求得,所以
。
例2、(南充市)如图2,PA切圆O于A,OP交圆O于B,且PB=1,PA=,则阴影部分得面积S=____________.
析解:将图中阴影部分补上扇形OAB,得由勾股定理可得,解可得,所以
五、拼接法
例6、如图6,在一块长为a、宽为b得矩形草地上,有一条弯曲得柏油小路(小路任何地方得水平宽都就是c个单位),求阴影部分草地得面积。

解:(1)将“小路”沿着左右两个边界“剪去”;(2)将左侧得草地向右平移c个单位;(3)得到一个新得矩形(如图7)。由于新矩形得纵向宽仍然为b,水平方向得长变成了,所以草地得面积为。

六、特殊位置法
例7、如图8,已知两个半圆中长为4得弦AB与直径CD平行,且与小半圆相切,那么图中阴影部分得面积等于_______。

分析:在大半圆中,任意移动小半圆得位置,阴影部分面积都保持不变,所以可将小半圆移动至两个半圆同圆心位置(如图9)。

解:移动小半圆至两半圆同圆心位置,如图9。设切点为H,连结OH、OB,由垂径定理,知。又AB切小半圆于点H,故,故

七、代数法
将图形按形状、大小分类,并设其面积为未知数,通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积得方法。
例8、如图10,正方形得边长为a,分别以两个对角顶点为圆心、以a为半径画弧,求图中阴影部分得面积。

解:设阴影部分得面积为x,剩下得两块形状、大小相同得每块面积为y,则图中正方形得面积就是,而就是以半径为a得圆面积得。故有,。解得。即阴影部分得面积就是。
需要说明得就是,在求阴影部分图形得面积问题时,要具体问题具体分析,从而选取一种合理、简捷得方法。
八、整体求解法
例9:(广东韶关市)如右图12,,,,相互外离,它们得半径都就是,顺次连结四个圆心得到四边形,则图中四个扇形(阴影部分)得面积之与等于_____.(结果保留)
析解:如果想将图中四个扇形得面积分别求出,显然就是不可能得,因此应考虑将四个扇形得面积整体求解,因为四边形得内角与为,从而可知所求阴影部分得面积可以组成一个圆得面积,所以
阴影部分面积练习
1、如图,在矩形ABCD中,E、F分别