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Banach格上的强序连续线性算子的中期报告
在Banach空间上，一个线性算子是强序连续的，如果它将单调上升的序列映射到单调上升的序列中去。强序连续性是函数逼近和集合收敛性的基本工具。本报告将介绍在Banach空间上研究强序连续性的一些结果和引理，以及它们的应用。
1.弱紧性
对于一个Banach空间X，我们定义弱紧子集为其单位球上弱收敛的序列的紧子集。显然，弱紧子集是有界的。我们有以下引理：
引理1.1：Banach空间X上的强序连续算子的单位球的任意弱紧子集的像是弱紧子集。
证明：令(x_n)是单位球上的一个弱收敛序列，令T是一个强序连续算子。
对所有k，令y_j=T(x_j)。因为T是强序连续的，所以对于j<k，y_j<y_k。故(y_n)是一个单调上升序列，并且对于所有n，y_n∈Im(T)。
现在，由于弱紧性质，(x_n)在X的一个紧子集中具有弱收敛的子序列。我们可以不妨地认为它确实是弱收敛的，并以x为其极限。那么由于T是连续的，我们有T(x)是该子序列的极限。因此，(y_n)弱收敛于T(x)。另一方面，(y_n)是单调上升的，因此其子序列也是。我们注意到，这意味着(y_n)实际上是收敛的，所以T(x)在Im(T)中。
2.分解引理
另一个有用的结果是下面的分解引理：
引理2.1：Banach空间X中的任意元素z可以唯一地表示为x+y，其中x∈[z]_+，y∈[z]_0。
这里[z]_+是[z]的正弦锥，即在[z]中正半轴上的所有元素。[z]_0是z的零锥，即如果x∈[z]，并且Cx=0，那么Cx=0。
证明：唯一性非常容易证明，因为如果有两个表示式z=x_1+y_1=x_2+y_2，那么我们有x_1-x_2=y_2-y_1。但是，x_1-x_2∈[z]_+，y_2-y_1∈[z]_0，因此x_1-x_2和y_2-y_1必须为零。
为了证明存在性，我们考虑对于每个t>0，集合[D_t]={z∈X:||z||≤t}的闭包。由于X是Banach空间，所以[D_t]也是。因此，我们可以在[D_t]中找到一个点z，使得||z||=t，并且[tz^{-1}]_0是文氏子空间。现在，我们定义y=z-[tz^{-1}]_+，x=[tz^{-1}]_+，那么z=x+y，在这里，x∈[z]_+，y∈[z]_0。此外，我们可以选择足够大的t，使得||y||<1。这意味着我们有y∈[z]_0∩在||y||<1中的弱单位球，因此[y]_0有一组基，它们是[dualX]中的向量，记为(z_n)。然后，我们可以定义一个弱最优序列(x^n)为x^n=[t(z_1+...+z_n)]_+，直到||x-x^n||<1/2。使用强序连续性，我们可以证明x^n弱收敛到x，且||x||≤t。因此，我们可以定义y^n=z-x_n，那么||y^n||<1/2，并且x_n+y^n=z。
3.Grothendieck理论
Grothendieck理论是强序连续性的一个重要结果。一个Banach空间X是Grothendieck空间，如果每个x∈X^*的正半轴，即{x>0}，在X中是弱紧的。换句话说，Grothendieck空间是弱紧锥正则的。这里我们有一个非正式结论：
引理3.1：如果Banach空间X是Grothendieck空间，那么X上的任意线性算子都是强序连续的。
证明：假设T是一个线性算子，且(x_n)是一个单调上升序列。我们想证明(T(x_n))是单调上升的。可是如果y>T(x)，那么{y-T(x)>0}定义了一个弱紧锥，因为它在{T(x_n)+y-T(x)}中包含一个强收敛的子序列。因此，任何x>x_n都会在这个锥中，因此T(x)>T(x_n)。
4.Banach空间上的弱紧性
在引理1.1中，我们使用了Banach空间上的弱紧性质。在Grothendieck理论中，我们又强调了一遍这个性质。实际上，Banach空间上的弱紧性是强序连续性的一个重要引理。通常有以下结果：
引理4.1：Banach空间X是Grothendieck空间，当且仅当其单位球的每个弱紧子集都是弱紧的。
结论：
在Banach空间上，弱紧性是强序连续性的基本引理。Grothendieck的理论证明了公式引理3.1，即每个Grothendieck空间上的线性算子都是强序连续的。这些结果是函数逼近和集合收敛的基本工具，并具有许多应用。