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复杂电磁问题的快速算法研究的综述报告
随着计算能力的提高，求解复杂电磁问题的需求也越来越迫切。而传统的数值方法，如有限元方法（FEM）、有限差分方法（FDM）、时域积分方程（TIE）、时域有限元方法（FETD）等，虽然在一些场景下有良好的表现，但是对于大规模、高维度的电磁问题，运算量显然过大，经常会导致计算资源的不足和计算时间的迅速增加。因此，快速算法成为当前解决这个问题的一种主要思路。
介绍
在电磁问题中，快速算法常用于压缩矩阵、寻找近似解和计算矩阵向量积等方面。几乎所有的快速算法都依赖于商业计算机和及其处理器的存在，以及大规模并行计算在科学计算中的应用。在这种条件下，快速算法使得巨大的电磁领域模型和问题变得可解，并可以用更少的计算时间消耗和计算资源开销得到准确的解决方案。
其中的核心思想是将复杂的问题分解成更小的问题，并有效地利用计算资源。快速算法的一般步骤通常包括几何信息，比如层次结构，远场展开和多层边界等。在整个过程中，不仅要寻找新的数值方法，而且还要将这些方法与现有的方法结合起来，以优化计算资源的使用和提高计算效率。
快速算法的发展历程
快速算法的发展始于20世纪八十年代，早期主要集中在求解用有限元法（FEM）求解泊松方程的问题上。在FEM中，必须预先离散化域来获得离散形式的泊松方程。当分辨率很高时，这些矩阵会非常大，计算解决方案消耗大量的计算资源。骨架化算法（Skeletonizationalgorithms）和多级交叉算法（MultilevelCrossAlgorithms）在这方面有很好的表现。
1990年代，快速算法应用于矩形结构和分层介质的电磁问题上。1988年，Greengard和Rokhlin首次提出了著名的FFT快速算法，使用快速傅里叶变换（FFT）处理周期边界条件，在O(NlogN)的时间内解决了泊松方程，提供了一种全息表示的强大方法。
在21世纪初，多层边界（MLFMM）算法的出现和发展大大推动了快速算法的发展，该算法是一种基于级联算法的快速算法，最初用于求解电磁问题中的非均匀双层介质表面上的散射问题。不断的改进和优化使得MLFMM成为了求解平面电磁问题的主流方法。
近年来，随着计算技术的进步和深度学习的应用，快速算法和深度学习的结合也成为了一个研究热点。
快速算法的分类
快速算法可以分为以下几种类型：
1.快速多极子方法（FastMultipoleMethod，FMM）
FMM是传统快速算法的代表，它将远场和近场建立了一个关联，在将问题分割为多个域以便处理时，有效地将大规模问题压缩为少量问题。
2.快速傅里叶变换（FFT）
FFT是将信号（或数据）从时域（或空间）域变换到频域域的算法。它在实际应用中非常常见，如图像处理、液滴互电场计算和地震监测等。
3.多层边界（MLFMM）
多层边界算法的基本思想是把整个电磁问题区域分成多个子区域，然后使用边界元法（BoundaryElementMethods,BEM）计算每一个子区域内的散射场并通过拼接得到整体解。
4.骨架化算法（Skeletonizationalgorithms）
骨架化算法是迭代求解系列矩阵的快速算法，同时对于大型离散系统具有高效性和高可扩展性。
应用现状
快速算法已被应用于各种电磁问题的求解中，如电磁兼容性（EMC）、电磁场分布、天线设计、电磁波传播、电动机设计、雷达散射等。例如，在雷达散射中，使用快速算法在计算复杂表面上的电场和感应电流时，可以在约10~30分钟内获得高度准确的解决方案。
结论
随着计算能力和算法技术的不断提高，快速算法在电磁问题的求解中将扮演越来越重要的角色。快速算法可以极大地提高电磁问题的求解效率，降低计算成本，同时在实现大规模电磁模拟方面具有一定的优势。当前研究主要集中在提高快速算法的精度和适用范围、实现对多层物质和非均匀介质的模拟、快速算法和机器学习方法的融合等方面，这些问题都是未来研究改进和优化快速算法的方向。