使用随机过程解决排队论问题.doc

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使用随机过程解决排队论问题
冼世靖毛利
(重庆信科通信工程有限公司重庆400060)

【摘要]介绍随机过程再排队论中的应用，并由实际问题出发建立了等待制模型。[关键词]随机过程排队论模型应用

中图分类号：029文献标识码：^文章编号：1671—7597(2008)071∞98—02

一、贫育随机过程在生产生活实际中有着广泛的应用，最显著的就是在排队论中应用。排队论又称随机服务系统，它是研究系统由于随机因素的干扰而出现的排队或拥塞现象的规律性的一门学科，适用于通信系统、交通与运输系统、生产与服务系统、存贮与装卸系统、管理运筹系统以及电子计算机系统等。在排队论中，排队规则分为三种制式：损失制、等待制和混合制。所谓的损失制就是指，顾客到达系统时，如果系统中所有服务窗均被占用，则到达的顾客随即离去，比如打电话时碰到占线，用户即搁置重打或者离去另找地方或过些时候再打：比如旅店客满谢客，挂牌大夫限额挂号，计算机限定内存等均为此种情形。等待制就是指顾客到达系统时，虽然发现服务窗均忙着，但系统设有场地供顾客排队等候之用。于是到达系统之顾客按先后顺序进行排队等候服务。通常的服务规则有先到先服务，后到先服务(比如仓库中同种物品堆叠后的出库过程)，随机服务，优先服务(比如邮政中的快件和特快专递业务，重危病人的急诊，交通中救火车、救护车、警车优先通过)等。混合制就是指损失制与等待制混合组成的排队系统，此系统仅允许有限个顾客等候排队，其余顾客只好离去永不再来；或者顾客中有的见到捧队队伍长而不愿费时等候，当队伍短时愿哦拥群蚍瘢灰灿信哦拥群虻?顾客当等候时间超过某个时间就离队而去均属于这种系统。本文将从一个实际问题出发，讨论随机平稳过程在排队论中应用的有关问题。本文所讨论的实际应用问题将假设顾客均按照泊松流到达系统。应用了泊松流的平稳性、无后效性和普通性特点。=、由实际问置中引出在网络系统中，我们经常会遇见如下这样的问题。假设在一个小型办公室环境中，有10个工作人员在一个办公室中办公。每个人有一台移动终端，通过链路与一个采取统计复用的数据集中器连接。我们再假设这10个人，也就是10个终端用户是相对独立的，每一个用户加至集中器的负载为泊松过程。经过统计，每个用户在办公时间内通信的平均数据率为每分钟12分组，每一分组的长度服从指数分布，平均长度为1200比特。数据集中器的输出连接一条4800比特／秒的传输信道。在上面的问题中，数据集中器就是一个窗口，而每个用户所发送的数据报就是顾客，每个数据报都是排队等待数据集中器的服务，当数据报到达系统时，虽然发现数据集中器忙着，但由于集中器没有发生丢包事件发生，于是到达数据集中器之数据报，将在信道中按先后顺序进行排队等候服务。因此这是一个等待制问题。每个用户加至负载为泊松过程，所对于信道，每分钟数据报的到达数目符合泊松过程：因为包的大小不同，而数据集中器的输出信道为4800比特／秒，所以信道转发包的个数符合负指数分布。针对该例子建立一个一般意义上的模型M／N。所谓M／M表示妇rkov过程，N表示服务窗口数目Ｔ诟美邪氖渴奔浜痛盎Т戆氖奔?属于Mrkov过程，服务窗口数目为l。a三、M，N，M援塑的建立

候，哪个窗口服务完空闲时，等候中的顾客按先后顺序前往空闲窗口接受服务。当系统处于平衡时，可列出c—K代数方程并求出相应的平稳分布：

对。状态有如o=脾，l，得pl

2pl‰2仰o；

对状态有劫。=2印：，得p：=鲁‰=蓦p2‰；
对。一l状态有劫。一：Ⅳ垆。，得p。=鲁p。=等p“p。；

对。状态枷。：懒+．，觚矿簪胪等∥k

磊状地+，．，=‰，，眠，=等‰=争7‰

k耻瞽‰拦<n
由正则性条件∑既=l，当p<1时，有

=c薹鲁+茎杀慨=c貉+鲁古，‰
于是

州薹鲁+鲁古广
由此可求出排队模型所要求借的目标参量：(1)因在等待制中，到达系统请求服务的顾客迟早会被服务窗服务，故pm=0。(2)系统的相对通过能力Q=l—p揖=l

(3)系统的绝对通过能力A=幻=名
(4)平均排队等待队长

‘=∑(七一九)既=∑驷。
I=^』=l

(5)平均忙着的服务窗个数

=竽风耖=鼎‰=南既
=薹豇
丢矿po+薹n等矿po

k=七=∑概+n∑仇

设系统有n个服务窗口，并且记岛=二，p=二。
+∥

掣

由于系统没有限制顾客来源和系统容量，故系统的可能状态集应为E={0，l，2，……}。其中状态k(Ok≤n)表示系统内有k个服务窗忙着接待≤顾客，其余n-k个顾客空闲着；当状态k>n时，那么，n个服务窗均忙着接待顾客，而余下的k—n个顾客排队等候服务。又约定此处只允许捧一个队等

咧善篙‰+薹等‰，
=叩(∑以+∑仇)=叩=岛