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一阶常微分方程的初等解法

目录
摘要
1.前言
1.1选题的背景和意义
1.2本文要解决的问题和所用的方法
1.3成果及意义
2.微分方程的基本知识
2.1知识脉络图解
2.2微分的基本概念
一阶微分方程的解法
3.1线性方程
3.2变量分离方程
3.3恰当微分方程与积分因子
3.4一阶隐式微分方程
3.5近似解法

摘要
常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学中占有重要的地位。本文主要通过讨论一阶微分的相关解法问题。讨论的类型有：变量可分离方程，齐次微分方程，积分因子，本文主要归纳了一阶微分方程的初等解法，并同时例举典型例题加以说明。
关键词：一阶常微方程：变量变换：恰当微分方程：积分因子
1.前言
1.1选题的背景和意义
微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家欧拉，法国数学家克雷洛，达朗贝尔，拉格朗日等人又不断的研究和丰富了微分方程的理论。常微分方程的形成与发展是和力学，天文学，物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。
1.2本文要解决的问题和所用的方法
（1）一阶微分方程的基本知识和性质
（2）一阶微分方程的解法
一阶微分方程的初等解法，即把微分方程的求解问题化为积分问题，其解的表达式由初等函数或超越函数表示。
1.3成果及意义
现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制，各种电子学装置的设计，弹道的计算，飞机和导弹飞行的稳定性的研究，化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
2.微分方程的基本知识
本部分主要介绍微分方程的知识和基本概念
2.1知识脉络图解
变量分离法，方程特征
变量变换法，齐次方程令

常见几类一阶微分方程的初等解法

线性方程常数变易法
线性齐次方程分离变量法
伯努利方程令

→
恰当方程
凑微分法或公式法
利用积分因子将非恰当方程化为恰当方程

不显含y或(x)的方程
可以解出y或（x）的方程
一阶隐方程与参数表示

2.2微分的基本概念
2.2.1常微分方程和偏微分方程
微分方程：将未知函数，自变量以及它的导数联系起来的关系式。
常微分方程：只含一个自变量的微分方程。
偏微分方程：自变量的个数为两个或两个以上的微分方程。
方程是常微分方程的例子，y是未知函数，仅含一个自变量t。
方程是偏微分方程的例子，t是未知函数，x，y，z，t是自变量。
微分方程的阶数：微分方程中出现的最高阶导数的阶数。
一般的n阶微分方程具有形式
这里是的已知函数，而且一定含有；y是未知函数，x是自变量。
2.2.2线性和非线性
如果微分方程对于未知函数及它的各阶导数的有理整式的整体而言是一次的，称为线性微分方程，否则是非线性微分方程。如：是非线性微分方程。一般的n阶线性微分方程具有形式

这里是的已知函数。
2.2.3解和隐式解
微分方程的解：满足微分方程的函数称为微分方程的解。即若函数代入式
中，使其成为恒等式，称为方程的解。
如果关系式决定的隐函数为方程
的解，称是方程的隐式解。
例如，一阶微分方程
有解和；而关系式是方程的隐式解。
2.2.4通解和特解
通解：具有n个独立的任意常数的解称为方程的通解。
注：所谓函数含有n个独立常数，是指存在的某一邻域，使得行列式其中。
特解：方程满足特定条件的解。
定解问题：求方程满足定解条件的求解问题。定解条件分为初始条件和边界条件，相应的定解问题分为初值问题和边值问题。

3.一阶微分方程的解法
3.1线性方程
3.1.1伯努利方程
形如的方程，称为伯努利微分方程，这里为的连续函数，是常数。
利用变量变换可将伯努利微分方程化为线性微分方程。事实上，对于，用乘两边，得到

引入变量变换，从而将代入得到这是线性微分方程，可按常数变易法求得它的通解，然后带回原来的变量，便得到的通解，此外，当时，方程还有解。
例求解微分方程
解这是一个伯努利微分方程，两边同乘以，得，
令，则有，
上式是一个一阶非齐次线性微分方程，由常数变易法可求得上式的解
，从而原方程的通解为
3.2变量分离方程
形如（1）
的方程，称为变量分离方程，，分别为，的连续函数，这是一类最简单的一阶函数。
如果，我们可将（1）改写成这样，变量就分离开来了。两边积分，得到
（2）
这里我们把积分常