江苏省南京市数学高二上学期试卷及答案指导(2024年).docx

2024年江苏省南京市数学高二上学期模拟试卷及答案指导
一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）
1、已知函数fx=logax（其中a>0,且a≠1）在区间(1,+∞)上是单调递增的，则a的取值范围是：
A.0<a<1
B.a>1
C.a<0
D.a=1
答案:B.a>1
解析:对数函数fx=logax的单调性取决于底数a的值。当底数a>1时，对数函数在其定义域内是严格单调递增的；当底数0<a<1时，对数函数则是严格单调递减的。因此，要使得给定的对数函数在区间(1,+∞)上单调递增，a必须大于1。选项B是正确的。其他选项要么不符合对数函数的定义（如C和D），要么会导致函数单调递减（如A）。
2、已知函数fx=logax−1（其中a>0，a≠1）在其定义域内单调递增，则a的取值范围是：
A.0<a<1
B.a>1
C.a<0
D.a=1
答案:B.a>1
解析:对于函数fx=logax−1，其定义域为x>1。此函数的单调性取决于底数a的大小。当底数a>1时，对数函数在其定义域内是严格单调增加的；当0<a<1时，函数则是严格单调减少的。因此，要使函数fx单调递增，则必须有a>1。选项C和D显然不符合对数函数底数的要求，故正确答案为B。
3、已知函数fx=logax−1（其中a>0且a≠1）的图像经过点(5,2)，则该函数的底数a的值为：
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】我们可以通过将点(5,2)代入给定的函数表达式fx=logax−1来求解底数a。
即：
现在我们来计算a的值。方程的解表明底数a的值为2。
因此，正确答案是A.2。
【解析】由于函数图像经过点(5,2)，我们可以将这个点的坐标代入函数fx=logax−1中，得到2=loga4。根据对数的定义，这意味着a的平方等于4。求解该方程，我们得到a=2，这是因为在实数范围内，正数底数的对数要求底数必须大于0且不等于1，而这里只有2的二次方等于4，满足条件。所以函数的底数a是2。
4、已知函数fx=x3−3x+2，则该函数在区间−2,2上的最大值为：
A.2
B.4
C.6
D.8
答案:B.4
解析:我们需要找到给定区间−2,2上函数fx=x3−3x+2的最大值。为了找出这个最大值，我们需要计算函数的一阶导数并找到临界点，然后比较这些临界点及区间端点处的函数值。接下来，我们将通过求解一阶导数等于零的情况来确定临界点，并计算对应的函数值。经过计算，在区间−2,2上，函数fx=x3−3x+2的可能的最大值为4，出现在x=−2或x=2时（实际上，在这个区间内，函数的最大值在x=2处取得）。临界点为x=−1和x=1，其中在x=−1和x=2处函数值为4，在x=1处函数值为0。
因此，此题的答案为B.4。这说明在给定的区间上，函数的最大值为4。
5、已知函数fx=logax−1（其中a>0,且a≠1）在其定义域内是增函数，则a的取值范围是：
A.0<a<1
B.a>1
C.0<a<2
D.a>0
答案:B.a>1
解析:对数函数fx=logax−1的增减性取决于底数a。当底数a>1时，对数函数在定义域内是单调递增的；当0<a<1时，对数函数则是单调递减的。由于题目指出该函数在其定义域内是增函数，因此a必须大于1。所以正确选项为B.
6、设函数fx=2x−3，gx=x+4，则复合函数f∘gx的表达式为：
A.2x+5
B.2x−1
C.2x+8
D.2x−7
答案：A.2x+5
解析：根据复合函数的定义，f∘gx=fgx。将gx的表达式代入fx中，则有fgx=fx+4=2x+4−3=2x+8−3=2x+5。因此正确答案为A。
接下来，我们可以验证一下解析是否正确。经过计算验证，当x=0时，复合函数f∘gx的值为5，与解析结果2x+5在x=0时的结果一致，因此正确答案为A.2x+5。
7、已知函数fx=3x2−4x+5，则函数在点x=1处的导数值为：
A.2
B.4
C.6
D.8
答案：A
解析：首先求函数fx=3x2−4x+5的导数f′x。根据导数的基本运算规则，我们可以得到f′x的表达式。然后计算x=1时f′x的值。
我们来计算一下具体的导数值。函数fx=3x2−4x+5的导数为f′x=6x−4。
将x=1代入导数表达式f′x，得到f′1=6×1−4=2。
因此，函数在点x=1处的导数值为2，故正确答案为选项A.2。
8、已知函数fx=3x2−4x+1，则该函数的最小值为：
A.1
B.-1
C.-13
D.13
答案：C.-13
解析：
此题考察的是二次函数的性质。给定的函数是一个标准形式的二次多项式fx=ax2+bx+c，其中a=3,b=−4,c=1。对于这样的函数，其开口方向由a的符号决定，在本题中因为a>0，所以函数图像开口向上。这意味着函数存在一个最小值点，