多元函数微积分(6).doc

项目三多元函数微积分

实验4线性规划问题（综合实验）

实验目的通过建立投资收益和风险问题的线性规划模型,掌握利用线性规划理论建立实际问题的数学模型的思想和方法.掌握将双目标优化问题转化为单目标优化问题的思想和方法.掌握用Mathematica求解线性规划问题的基本方法.

基本命令
1.约束最大与约束最小命令
求解线性规划问题的命令为ConstrainedMax与ConstrainedMin.其的基本格式是:
ConstrainedMax[f,{inequalities},{x,y,…}]
在不等式或等式{inequalities}确定的可行区域上求线性目标函数f的最大值,约定变量{x,y,…}都大于或等于0;
ConstrainedMin{f,{inequalities},{x,y,…}}
在不等式或等式{inequalities}确定的可行区域上求线性目标函数f的最小值,约定变量{x,y,…}都大于或等于0.
注：上面两个命令都有一个可选参数:
Tolerance允许误差(默认值是).
例如,输入
ConstrainedMin[1.5x+2.5y,{x+3y>=3,x+y>=2},{x,y}]
则输出
{3.5,{x->1.5,y->0.5}}
即当时,函数取得最小值3.5.在约束条件中可以使用等号,但要用“==”表示.例如,输入
ConstrainedMax[5x+3y+2z+4t,{3x+y+2z+8t==10,
2x+4y+2z+t==10},{x,y,z,t}]
则输出
{18,{x->3,y->1,z->0,t->0}}
有时,输出结果可能有些问题.输入
ConstrainedMax[3x+2y-1,{x<1,y<2},{x,y}]
则输出
{6,{x->1,y->2}}
即当时,函数取最大值6.
注:约束条件使用严格不等号,结果仍旧取在边界上.
输入
ConstrainedMax[x+y,{x+y<=15},{x,y}]
则输出
{15,{x->15,y->10}}
这个问题有无穷多最优解,这里只给出其中之一,而且没有给出任何提示信息.
前面的例题总是给出一个最优解,属于正常情况.下面的例子是非正常的情况.
例如,输入
ConstrainedMax[x+y,{x-y>=0,3x-y<=-3},{x,y}]
则在输入行的下面给出提示
ConstrainedMax::nsat:Thespecifiedconstraintscannotbesatisfied.
并输出
ConstrainedMax[x+y,{x-y>=0,3x-y<=-3},{x,y}]
其含义是:没有可行解,因此没有最优解.然后返回投资的收益和风险问题.
输入
ConstrainedMax[2x+y,{x-y>=-1,-0.5x+y<=2},{x,y}]
在输入行的下面给出提示
ConstrainedMax::nbddt:Specifieddomainappears
unbounded,withtolerance1.’*^-6.
并输出
{,{x->Indeterminate,y->Indeterminate}}
其含义是:可行区域无界,问题没有最大值,或说最大值是无穷大.然后返回投资的收益和风险问题.
2.线性规划命令LinearProgramming
当自变量和约束不等式较多时,用ConstrainedMax或ConstrainedMin求解就比较麻烦.此时,可将目标函数和约束条件用向量或矩阵表示,然后使用LinearProgramming.其基本格式为
LinearProgramming[c,m,b]
其中c是行向量,b是列向量,m是矩阵,自变量用x表示,使用该命令,则在满足不等式且的可行区域中,求出函数cx的最小值点x.
注:实际输入时,b仍以行向量表示.此外,这个命令也有可选参数Tolerance,其含义与前面的说明相同.
例如,用约束最小命令计算,输入
ConstrainedMin[2x-3y,{x+y<10,x-y>2,x>1},{x,y}]
则输出
{0,{x->6,y->4}}
改为用线性规划命令计算,输入
LinearProgramming[{2,-3},{{-1,-1},{1,-1},{1,0}},{-10,2,1}]
则输出
{6,4}
两者结果一样,但表示的方法不同.
注:当有无穷多组解时,线性规划命令仍不会给出提示信息.

应用举例

例1生产计划中线性规划模型
某工厂有甲、乙、丙、丁四个车间,生产A,B,C,D,E,F六种产品,根据车床性能和以前的生产情况,得知生产单位产品所需车间的工作小时数,每个车间每月工作小时的上限,以及产品的价格如表1.

表1
产品A产品B产品C产品D产品E产品F每月工作