中学数学竞赛中常用的几个重要定理.docx

梅涅劳斯定理：如果在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、E、F且D、E、F三点共线，则=1
梅涅劳斯定理的逆定理：如果在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、E、F，且满足=1，则D、E、F三点共线.
【例1】已知△ABC的重心为G，M是BC边的中点，过G作BC边的平行线AB边于X，交AC
边于Y，且XC与GB交于点Q，YB与GC交于点P.
证明：△MPQ∽△ABC
【例2】以△ABC的底边BC为直径作半圆，分别与边AB，AC交于点D和E，分别过点D，E作BC的垂线，垂足依次为F，G，线段DG和EF交于点M.求证：AM⊥BC

【例3】四边形ABCD内接于圆，其边AB，DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q，过Q作该圆的两条切线，切点分别为E，F.求证：P，E，F三点共线.

【练习1】设凸四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M，过M作AD的平行线分别交AB，CD于点E，F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心，以OM为半径的圆上一点.
求证：∠OPF=∠OEP
【练习2】在△ABC中，∠A=900，点D在AC上，点E在BD上，AE的延长线交BC于F.
若BE：ED=2AC：DC，则∠ADB=∠FDC
塞瓦定理：设O是△ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于N、P、M，则

塞瓦定理的逆定理：设M、N、P分别在△ABC的边AB、BC、CA上，且满足，则AN、BP、CM相交于一点.
【例1】BE是△ABC的中线，G在BE上，分别延长AG，CG交BC，AB于点D，F，
过D作DN∥CG交BG于N，△DGL及△FGM是正三角形.求证：△LMN为正三角形.
【例2】在△ABC中，D是BC上的点=，E是AC中点.AD与BE交于O，CO交AB于F
求四边形BDOF的面积与△ABC的面积的比
【练习1】设P为△ABC内一点，使∠BPA=∠CPA，G是线段AP上的一点，直线BG，CG分别交边AC，AB于E，F.求证：∠BPF=∠CPE
【练习2】在△ABC中，∠ABC和∠ACB均为锐角.D是BC边BC上的内点，且AD平分∠BAC，过点D作垂线DP⊥AB于P，DQ⊥AC于Q，CP于BQ相交于K.求证：AK⊥BC

托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则有AB·CD+AD·BC=AC·BD

【例1】已知在△ABC中，AB>AC，∠A的一个外角的平分线交△ABC的外接圆于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F.求证：2AF=AB-AC
【例2】经过∠XOY的平分线上的一点A，任作一直线与OX及OY分别相交于P，Q.
求证：+为定值
【例3】解方程+=
【练习1】设AF为⊙O1与⊙O2的公共弦，点B，C分别在⊙O1，⊙O2上，且AB=AC，∠BAF，∠CAF的平分线交⊙O1，⊙O2于点D，E.求证：DE⊥AF
【练习2】⊙O为正△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，在弧BC上任取一点P（与B，C不重合）.设E，F分别为△PAB，△PAC的内心.证明：PD=∣PE-PF∣
西姆松定理：点P是△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，D、E、F为垂足，则D、E、F三点共线，此直线称为西姆松线.
【例1】过正△ABC外接圆的弧AC上点P作PD⊥直线AB于D,作PE⊥AC于E,作PF⊥BC于F.
求证：+=
【练习1】设P为△ABC外接圆周上任一点，P点关于边BC，AC所在的直线的对称点分别为P1，P2.求证：直线P1P2经过△ABC的垂心.
三角形的五心
内心
【例1】设点M是△ABC的BC边的中点，I是其内心，AH是BC边上的高，E为直线IM与AH的交点.求证：AE等于内切圆半径r
【例2】在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A的平分线AD交△ABC的外接圆于K.O，I分别为△ABC的外心，内心.求证：OI⊥AK
【练习】在△ABC中，∠BAC=300，∠ABC=700，M为形内一点，∠MAB=∠MCA=200
求∠MBA的度数.
外心
【例1】锐角△ABC的外心为O，线段OA，BC的中点为M，N，∠ABC=4∠OMN，
∠ACB=6∠OMN.求∠OMN
【例2】在等腰△ABC中，AB=BC，CD是它的角平分线，O是它的外心，过O作CD的垂线交BC于E，再过E作CD的平行线交AB于F，证明：BE=FD.
【练习】1、⊙O1与⊙O2相交于P，Q，⊙O1的弦PA与⊙O2相切，⊙O2的弦PB与⊙O1相切.
设△PAB的外心为O，求证：OQ⊥PQ
重心
【例1】在△ABC中，G为重心，P是形内一点，直线PG交直线BC，CA，AB于F，E，D.
求证：++=3
【例2】已知△ABC的重心G和内心I的连线GI∥BC，求证：AB+AC=2BC

【练习】1、设M为△ABC的重心，且AM=3，