第5讲 乘法原理.doc

乘法原理
我之所以比笛卡尔看得远些，是因为我
站在巨人的肩上。
——牛顿
我们先看下面的问题：
由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条(图5-1)。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？

这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又有2种不同的走法。因此，从A村经B村去C村共有3x2=6（种）不同的走法。
一般地，有如下原理：
乘法原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事共有
N=ml×m2×…×mn种不同的方法。
应用乘法原理的关键是分步，即将一个复杂的过程分解为若干个接连进行的简单过程。分步时要注意其合理性，各步骤顺次完成后就完成了原事件。
应用乘法原理的解题步骤是：

例1某条铁路上共计有八个车站。
(1)问：这些车站间共有多少种普通客票？
(2)假如任两站间的票价互不相同，问：这八站之间有多少种票价？
分析与解(1)将计算火车票的种数看做一项工作，而一种票的区分，主要是起点站与终点站，这样，将这项二作分为两步完成：
第一步确定起点站，第二步确定终点站。
第一步确定起点站，因有八个车站，就有8种选择。
第二步确定终点站，因为第一步确定一个车站后，只剩下7个车站，就只有7种选择方法，这样完成这项工作共有8×7=56（种）方法，那么共有56种车票。
下面用简图来进一步说明，如A为起点站，有7种车票，同理B为起点站，有7种车票，…，H为起点站，有7种车票，这样共有8×7=56（种）火车票。

(2)A站到B站的车票与B站到A站的车票不同，这是有顺序问题，但A站到B站的票价与B站到A站的票价是一样的，这是无顺序问题，所以共8×7÷2=28（种）票价．
问题(2）相当于：直线上有8个点，共有l+2+…+7=28（条）线段。
例2如图5-2，从A经P到B，沿着最短路线走，共有多少条不同路线？

分析与解在图5-2上添上M、N两点，如图5-3所示，从A经P到B的最短路线也就是从A经M、N到B的最短路线。这条路线可分三段：第一段从A到M（最短路线），有3条；第二段从M经P到N，仅有唯一的l条；第三段从N到B（最短路线），有4条，根据
乘法原理，共有3×1×4=12（条）不同路线。
例3有五张卡片，分别写着数字l，2，4，5，8。现从中取出3张卡片，并排放在一起，组成一个三位数，如1，5，2。问：可以组成多少个不同的偶数？
分析与解分三步取出卡片，首先因组成的三位数是偶数，个位数字只能是偶数，故先选取最右边的卡片，有2，4，8三种不同选择；第二步在其余的4张卡片中任取一张，放在最左边位置上，有4种不同的选法；最后从剩下的3张卡片中选取一张，放在中间的位置上，有3种不同选择。根据乘法原理，可以组成3×4×3=36（个）
不同的三位偶数。

例4某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如图5-4．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给下图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有不同的染色方法。
解：把地图上的7个县分别编号为A，B，C，D，
E，F，G（如图5-5）．为了便于观察，可以把图5-5改画成图5-6（相邻关系不改变）。我们不妨按A，B，C，D，E．F，G的顺序，用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次染色，根据乘法原理，共有5×4×3×3×3×3×3=4860（种）不同的染色方法。

这里为了避免遗漏或重复，适当选择染色顺序，但应注意这里所说的“适当选择染色顺序”，并不是说染色方法与染色顺序有关，而是要防止某种染色次序混乱造成遗漏或重复而算错结果。
例5由35个单位小正方形组成的长方形中，如图5-7所示有两个“★”，问：包含两个“★”在内的，由小正方形组成的长方形（含正方形）共有多少个？

解法1如图5-8．将含有两个“★”的横行放在一起，看成一行(A)，将含两个“★”的纵列放在一起，看成一列(B)。凡含这两个“★”的长方形，要么由A向上或向下数行，要么由B向左或向右数列。
由A行向上数有2种方法；由A行向下数有3种方法；
由B列向左数有3种方法；由B列向右数有4种方法。
总计组成含两个“★”在内的长方形（含正方形）共有：2×3×3×4=72（个）。
解法2按行划分，含有这两个“★”的行共有6种，即|2|，|l,2|,|2,3|,|2,3,4|,|l,2,3|,
|l,2,3,4|；按列划分，则共有12种，即|三，|二、三|，|一、二、三|，|三、四|，|三、四、五|，|三、四、五、六|，|二、三、四|，|二、三、四、
五|，|二、三、四、五、六|，|一、二、三、四|，|一、二、三、四、五|，|一、二、三、四、五、六|。由于每1种行划分对应着12种列划分，所以含有两个“★”在内的