分式求值的技巧点拨.doc

分式求值的技巧点拨

在分式运算中，常遇到求值问题，这类问题题型多样，技巧性强，若根据题目中分式的结构特点，采用适当方法，则可巧妙获解。
一、巧用配方法求值
例1已知求的值。
解：由，由此得
∴

说明：在求解有关分式中两数（或两式）的平方和问题时，可考虑用完全平方公式进行解答。

二、巧用因式分解法求值
例2先化简，再求值：
。其中，。
解：原式=

∵，
∴，
∴
说明：因式分解法是一种重要的数学方法，解决很多数学问题都要用到它，尤其是在分式化简和分式的四则运算中运用较多。因此，希望同学们对因式分解的各种方法熟练掌握。

三、巧用整体代入法求值
例3已知，求的值。
解：由变形得，代入所求式得：
原式

说明：在解答给定条件下求分式的值这类问题时，需要把待求值的分式进行恒等变形，转化成能用已知条件表示的形式，再代入计算，或先把条件进行化简再采用上述方法求值。

四、巧设参数（辅助未知数）求值
例4已知实数x、y满足x:y=1:2，则__________。
解：设，则，，故原式
说明：在解答有关含有比例式的题目时，设参数（辅助未知数）求解是一种常用的方法。

五、巧用方程（或方程组）求值
例5已知，，a、b、c均不为0，求的值。
解：解方程组，得
∴原式
=
说明：将已知的等式看成方程（或方程组），先用其中的一个字母表示出其他的两个字母，并代入所求的分式进行运算是本题求解的关键。

六、巧用变形方法求值
例6已知，且，则
=______________。
解：由已知条件可得，，，代入所求式，得：
原式

说明：当题目中所提供的式子有等于0的条件出现时，通过把所求分式进行变形，使之出现相应的式子是解答此类问题的关键。

七、挖掘隐含条件，巧妙求值
例7若，则=___________。
解：∵，∴
但考虑到分式的分母不为0，故x=3
所以，原式
说明：根据题目特点，挖掘题中的隐含条件，整体考虑解决方案是解决本类题目的关键。

八、巧用特值法求值
例8已知，则=_____________。
解：此题可直接令x=4，y=5，z=6，代入得：
原式

说明：根据题目特点，给相关的字母赋予特定的数值，可简化求解过程。

九、利用倒数法求值
例9已知，求的值。
解：原式

∵
∴
∵
∴
∴原式=
说明：在进行某些分式求值时，有时会出现条件或所求分式不易化简变形的问题，但如果把该式的分子、分母颠倒后，变形就会容易了，此类问题通常采用倒数法来解决。在解题时要注意灵活掌握。

在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种：
应用分式的基本性质
例1如果，则的值是多少?
解：由，将待求分式的分子、分母同时除以，得
原式=..
2、倒数法
如果，则的值是多少?
解：将待求分式取倒数，得

∴原式=.
3、平方法
已知，则的值是多少？
解：两边同时平方，得

4、设参数法
已知，求分式的值.
解：设，则
.
∴原式=
已知求的值.
解：设，则

∴，
∴
∴
∴原式=
5、整体代换法
已知求的值.
解：将已知变形，得
即
∴原式=
6、消元代换法
已知则.
解：∵∴
∴原式=

7、拆项法
若求的值.
解：原式=

∴原式=0.
8、配方法
若求的值.
解：由得.
∴

∴原式=.