(完整word版)概率论与数理统计复习提纲(word文档良心出品).doc

第一章随机事件及其概率
一、随机事件及其运算
1.样本空间、随机事件
①样本点：随机试验的每一个可能结果，用表示；
②样本空间：样本点的全集，用表示；
注：样本空间不唯一.
③随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C,…表示；
④必然事件就等于样本空间；不可能事件是不包含任何样本点的空集；
⑤基本事件就是仅包含单个样本点的子集。
2.事件的四种关系
①包含关系：，事件A发生必有事件B发生；
②等价关系：，事件A发生必有事件B发生，且事件B发生必有事件A发生；
③互不相容（互斥）：，事件A与事件B一定不会同时发生。
④对立关系（互逆）：，事件发生事件A必不发生，反之也成立；互逆满足
注：互不相容和对立的关系（对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。）
3.事件的三大运算
①事件的并：，事件A与事件B至少有一个发生。若，则；
②事件的交：，事件A与事件B都发生；
③事件的差：，事件A发生且事件B不发生。
4.事件的运算规律
①交换律：
②结合律：
③分配律：
④德摩根（DeMorgan）定律：对于n个事件，有
二、随机事件的概率定义和性质
1．公理化定义：设试验的样本空间为，对于任一随机事件
都有确定的实值P(A)，满足下列性质：
(1)非负性：(2)规范性：
(3)有限可加性(概率加法公式)：对于k个互不相容事件，有.
则称P(A)为随机事件A的概率.
2．概率的性质
①②
③若，则
④

注：性质的逆命题不一定成立的.如若则。（×）若，则。（×）
古典概型的概率计算
古典概型：若随机试验满足两个条件：①只有有限个样本点,
②每个样本点发生的概率相同，则称该概率模型为古典概型,。
典型例题：设一批产品共N件，其中有M件次品，从这批产品中随机抽取n件样品，则
(1)在放回抽样的方式下,取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A1）的概率为

(2)在不放回抽样的方式下,取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A2）的概率为

四、条件概率及其三大公式
1.条件概率：
2.乘法公式：
3.全概率公式：若，则。
4.贝叶斯公式：若事件如全概率公式所述，且.
五、事件的独立1.定义：.
推广：若相互独立，
2.在四对事件中，只要有一对独立，则其余三对也独立。
3.三个事件A,B,C两两独立：
注：n个事件的两两独立与相互独立的区别。（相互独立两两独立，反之不成立。）
4.伯努利概型：

1.事件的对立与互不相容是等价的。（X）
2.若则。（X）
3.。(X)
4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为。(∨)
5.n个事件若满足，则n个事件相互独立。(X)
6.当时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨）
第二章随机变量及其分布
一、随机变量的定义：设样本空间为，变量为定义在上的单值实值函数，则称为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。
二、分布函数及其性质
1.定义：设随机变量，对于任意实数，函数称为随机变量的概率分布函数，简称分布函数。注：当时，
(1)X是离散随机变量，并有概率函数则有
(2)X连续随机变量，并有概率密度f(x)，则.
2.分布函数性质：
（1F(x)是单调非减函数，即对于任意x1<x2，有；
（2；且；
（3离散随机变量X，F(x)是右连续函数,即；连续随机变量X，F(x)在（-∞，+∞）上处处连续。
注：一个函数若满足上述3个条件，则它必是某个随机变量的分布函数。
三、离散随机变量及其分布
1.定义.设随机变量X只能取得有限个数值，或可列无穷多个数值且，则称X为离散随机变量,pi(i=1,2,…)为X的概率分布，或概率函数(分布律).
注：概率函数pi的性质:
2.几种常见的离散随机变量的分布：
（1）超几何分布，X~H(N,M,n)，
（2）二项分布，X~B(n.,p)，
当n=1时称X服从参数为p的两点分布（或0－1分布）。
若Xi(i=1,2,…,n)服从同一两点分布且独立，则服从二项分布。
（3）泊松(Poisson)分布，，
四、连续随机变量及其分布
1.定义.若随机变量X的取值范围是某个实数区间I，且存在非负函数f(x)，使得对于任意区间，有
则称X为连续随机变量;函数f(x)称为连续随机变量X的概率密度函数，简称概率密度。
注1：连续随机变量X任取某一确定值的概率等于0,即
注2：
2.概率密度f(x)的性质：性质1：性质2：
注1：一个函数若满足上述2个条件，则它必是某个随机变量的概率密度函数。
注2：当时，
且在f(x)的连续点x处，有
3.几种常见的连续随机变量的分布：
(1)均匀分布，

(2)指数分布,
(3)正态分布，
1.概率函数与密度函数是同一个概念。（X）
2.当N充分大时，超几何分布H(n,M,N)可近