(完整word版)概率论与数理统计答案(4)(word文档良心出品).doc

习题四
1.设随机变量X的分布律为

X1012P1/81/21/81/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.
【解】(1)
(2)
(3)
2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.
【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为
X012345P故

3.设随机变量X的分布律为
X101Pp1p2p3且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3.
【解】因……①,
又……②,
……③
由①②③联立解得
4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？
【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则

5.设随机变量X的概率密度为
f（x）=
求E（X），D（X）.
【解】

故
6.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.
（1）U=2X+3Y+1；
（2）V=YZ4X.
【解】(1)

(2)

7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X2Y），D（2X3Y）.
【解】(1)
(2)
8.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
试确定常数k，并求E（XY）.
【解】因故k=2
.
9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为
fX（x）=fY（y）=
求E（XY）.
【解】方法一：先求X与Y的均值

由X与Y的独立性，得

方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为

于是

10.设随机变量X，Y的概率密度分别为
fX（x）=fY（y）=
求（1）E（X+Y）;（2）E（2X3Y2）.
【解】

从而(1)
(2)
11.设随机变量X的概率密度为
f（x）=
求（1）系数c;（2）E（X）;（3）D（X）.
【解】(1)由得.
(2)

(3)
故
12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E（X）和D（X）.
【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知

于是，得到X的概率分布表如下：
X0123P0.7500.2040.0410.005由此可得

13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为
f（x）=
为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.
【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和200元

故(元).
14.设X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，i=1，2，…，n，记
，S2=.
（1）验证=μ，=；
（2）验证S2=；
（3）验证E（S2）=σ2.
【证】(1)

(2)因

故.
(3)因,故
同理因,故.
从而

15.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=1,
计算：Cov（3X2Y+1，X+4Y3）.
【解】

(因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似).
16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.
【解】设.

同理E(Y)=0.
而
,
由此得,故X与Y不相关.
下面讨论独立性，当|x|≤1时，
当|y|≤1时，.
显然
故X和Y不是相互独立的.
17.设随机变量（X，Y）的分布律为
X
Y
101
1
0
11/81/81/8
1/801/8
1/81/81/8验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.
【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表
X101P
Y101P
XY101P
由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.
从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0,
即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的.
又
从而X与Y不是相互独立的.
18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），ρXY.
【解】如图，SD=，故（X，Y）的概率密度为

题18图

从而
同理
而
所以
.
从而
19.设（X，Y）的概率密度为
f（