考点23-空间几何垂直问题(练习)(解析版).docx

考点23空间几何体垂直问题
【题组一线面垂直】
1．如图，在直四棱柱中，底面是矩形，与交于点，,证明：平面

【答案】见解析
【解析】证明：因为四棱柱是直四棱柱，所以平面，则.又，，
所以平面，所以.
因为，，所以是正方形，所以.
又，所以平面.
2．如图所示，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，E为棱的中点，F为棱上的动点,求证：平面

【答案】证明见解析
【解析】如下图所示,由于四边形是菱形,则,
又∵,∴是等边三角形,∵E为的中点,∴,
∵,∴.
∵底面,平面,∴,
∵,平面,∴平面；
3．如图，在五棱锥中，平面，，，，，，,求证：平面

【答案】见解析
【解析】在三角形中，∵，，，
∴，
∴，∴，∴．
由得．又平面，面，故．
又，∴平面．
4．如图，平面平面，且为正方形，，，为的中点,求证：平面

【答案】详见解析
【解析】因为，由余弦定理得，所以，所以.由于平面平面，且两个平面相交与，所以平面，所以，又因为，所以平面.
5．如图，为圆的直径，点、在圆上，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，,求证：平面

【答案】见解析
【解析】平面平面，,
平面平面，
平面，
∵AF在平面内，∴，
又为圆的直径，∴，
∴平面.
6．如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，AB∥CD，，,求证：平面

【答案】见解析
【解析】证明：过点C作CM⊥AB，垂足为M，因为AD⊥DC，
所以四边形ADCM为矩形，所以AM＝MB＝2，
又AD＝2，AB＝4，所以AC＝2，CM＝2，BC＝2，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.
又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，且BE∩BC＝B，
所以AC⊥平面BCE.
【题组二面面垂直】
1．如图，已知四棱锥的底面是菱形，，，为边的中点，点在线段上,证明：平面平面

【答案】证明见解析
【解析】证明：连接，因为底面是菱形，，
所以是正三角形，
因为为边的中点，，
所以，，，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．

2．如图，在平面图形中，为菱形，，为的中点，将沿直线向上折起，使,求证：平面平面

【答案】见解析
【解析】取中点，连接，，，
……①
由底面，所以，
又由为的中点，所以，
可得，
又由，所以平面，
……②
由①②可得：面，
又面平面平面.
3．如图，在四棱锥中，平面，，，,求证:平面平面

【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，过点作于点.因为，所以四边形是等腰梯形，可得，所以，所以.又因为平面平面，所以.因为平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.

4．如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面ABC，D，E分别是ABC，的中点,求证：面面

【答案】证明见解析
【解析】，D是AC的中点

直三棱柱中平面ABC
平面平面ABC，且平面平面
平面
平面

又在正方形中，D，E分别是AC，的中点
，又
平面.
又面ABE
面面
5．梯形中，，，，，过点作，交于（如图1）.现沿将折起，使得，得四棱锥（如图2）求证：平面平面
.
【答案】证明见解析
【解析】在中，∵，，∴，又，∴，
又，∴四边形为平行四边形.
∵，∴平行四边形为菱形，∴，
又，平面，，
∴平面.
又∵平面，∴.平面平面.
【题组三线线垂直】
1．如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，为底面的对角线，为的中点,求证：

【答案】见解析
【解析】证明：连接交于,

∵在四棱柱中，
平面，平面，∴．
∵四边形是正方形，∴．
又∵，∴平面．
∵平面，∴．
2．如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面,证明：

【答案】见解析
【解析】证明：连接，
∵底面，底面,∴.
∵四边形是菱形，∴.
又∵，平面，平面，
∴平面，
∴.