勾股定理证明的探讨与教学思考.pdf

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够珞+[(学)(学)卜学+[(学)(学)卜学+(学)4州一5一龇一5一[(学)钿+(学)2”][(学)2州+(学)2州]一(学)4州————■歹r——～¨勾股定理证明的探讨与教学思考⋯，那么当，z≥3时有^一A。+I。．实际上，——面积法，即先算出整个图形的面积，再算出o，c9c’o'070?o_)c'coc，t70’o’o’o’o，o’_。，o’e'c．，e_，o’o’o’o，o’o_，070’o’o’o't，c'o，o，o’讳，，3，07．。，亡oo，，—>7中学数学教学2011年第1期安徽省合肥市第四十五中学李光武孔云勾股定理的证明方法有很多种，目前教材给出的几种证明方法是面积法．如下图所示：①利用若干个全等的直角=三角形和一个小正方形，拼成一个大正方形(图1是邹元治的证明拼图法、图2是赵爽的证明拼图法)；②利用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，拼成一个直角梯形(图3是1876年美国总统Garfield的证明拼图法)．教材选用这几种证明方法，都是利用几个简单的直角三角形和一个正方形或等腰直角三角形，拼成一个学生比较熟悉，而且它们的面积也是很容易求解的一种几何图形．然后，教材给出学生比较熟悉的证明方法各个部分的图形面积，利用图形分割前后的面积相等，构成一个等式，最后经过整式的化简、整理(1+√5)4计1+(1一√5)4井1给Lucas数列赋于美丽的生活意义：假如有一对新生兔子，经过一个月变成一对成熟兔子并且开始繁殖，第三个月它们生下一对小兔子(此时共2对兔子)，第四个月时新生小兔子的爸妈又生下一对小兔子(此时共3对兔子)，第五个月时共5对兔子，⋯．这就是1202年由意大利出版的、意大利数学家斐波那契(Fibonacci)的著作《珠算原理》中的一段记载．由此可得如下著名的Fibonacci数列：若记厂。一1，厂-一1，^=2，^一3，，4=5，Fibonacci数列可以看成是给Lucas数列加了一个初始条件L。一1得到的．显然，当咒≥3时，I。ucas数列和Fibonacci数列有相同的递推关系．关于Fibonacci数列和I．ucas数列的进一步研究及应用的文章限于篇幅，这里不在提及，有兴趣的朋友可以在数学网上去查找．数学是一座宝山，新数学课本是宝山里的一脉矿床，我们可不能进宝山而空返啊!(邮编：230001)Numbers[J]．Mathematical[J]．中学数学教学参考(上半月)，2009，5．赘．一个数学小资料的探究价值[J]．中学数学20图1图2图3．．．L2，lL2什2一L2。L2神l一5．1。l。2。3，5，8，13，⋯参考文献W．Austin．Columns2004／2005张赘．高中新教材中两类问题的思考和探究尝试教学参考(上半月)，2009，8．(收稿日期：2010一11_02)1HomerofFibonacciLucasspectrum，Volume37，Number2，pp．67—72．23or．
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一‘l／＼公式：s=／瓦歹二i汀歹=万巧而，其中户=面积为：5=÷×2n×6=曲，且户=寺(2a+f中学数学教学得到直角三角形=三边的关系式：即n2+62=r2(其中口、6表示直角三角形的两直角边，c表示斜边)．教材选取了这j种证明方法，一是图形拼接并不繁琐；二是面积求解也很简单，并不需要学生在原来的图形中添加辅助线，构造新的几何图形．在众多的解法里，只有这三种解法符合学生的认知规律，符合新形势下的课程改革需要，只要学生通过自己的动手操作，利用已有的知识，经过简单的整式化简、整理，就可以很快得到定理的结论．对于沪科版教材，笔者在上《第19章第一节二次根式》之前进行备课时，发现问题2是秦九韶一海伦“三斜求积”公式，√户(户一口)(p一6)(户一c)，这里的户=÷(口+6+f)，(其中n、6、f分别是三角形的三条边长)．此时，我们就产生这样一种想法，既然秦九韶一海伦“三斜求积”公式是用来求三角形面积的，而勾股定理的证明也是用面积法来证明的，那么，这两者之间能否建立一种联系呢?能用秦九韶一海伦“乏斜求积”公式，来证明勾股定理吗?如果能，图形怎么拼?在拼图时能否使所需要的直角三角形的个数更少一些呢?这一系列的问题促使笔者去思考、假想、构图、证明．经过反反复复的思考、构图、证明等一系列活动后．最后，我们发现这种想法是成立的．同时，经过证明也是合理的．现将我们得到的拼图方法、思路以及具体的证明过程陈述如下：首先取两个全等的直角三角形，把他们的两条对应的直角边重叠在一起，同时使另外的两条对应的直角边在一条直线上，拼成如下右图4所示一个等腰=三角形．拼图之后的这个等腰三角形的底边长为2n，高为6，然后利用三角形的面积公式来求出它的面积，则这个等腰二角形的+c)=n+c．再利用秦九韶一海