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构造函数证明不等式
1.已知函数（为自然对数的底数）．
（1）求函数的最小值；
（2）若，证明：．
（1）解：∵，∴．令，得．∴当时，当时，．∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．∴当时，有最小值1．
（2）证明：由（1）知，对任意实数均有，即．
令（），则，
∴．即．∵∴．
∵，
∴．
2.已知函数
（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；
（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
（Ⅲ）设函数，求证：．
解：（Ⅰ）由得，所以．
由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是．（Ⅱ）由可知是偶函数．于是对任意成立等价于对任意成立．由得．
①当时，．此时在上单调递增．
故，符合题意．
②当时，．当变化时的变化情况如下表：
单调递减极小值单调递增由此可得，在上，．依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．
（Ⅲ），
，
，
由此得，
故．
3.设函数，其中．
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．
解：（Ⅰ）由题意知，的定义域为，
设，其图象的对称轴为，．当时，，
即在上恒成立，当时，，
当时，函数在定义域上单调递增．（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．②时，有两个相同的解，时，，时，，时，函数在上无极值点．③当时，有两个不同解，，，时，，，即，．时，，随的变化情况如下表：
极小值由此表可知：时，有惟一极小值点，当时，，，此时，，随的变化情况如下表：
极大值极小值由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；综上所述：时，有惟一最小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；
时，无极值点．（Ⅲ）当时，函数，
令函数，则．
当时，，所以函数在上单调递增，又．
时，恒有，即恒成立．
故当时，有．对任意正整数取，则有．所以结论成立．
4.设函数
(Ⅰ)求的单调区间；(Ⅱ)当时，若方程在上有两个实数解，求实数t的取值范围；(Ⅲ)证明：当m>n>0时，.
解析：（Ⅰ）①时，∴在（—1，+）上是增函数②当时，在上递增，在单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减
又∴
∴当时，方程有两解（Ⅲ）要证：只需证只需证：设，则由（Ⅰ）知在单调递减∴，即是减函数，而m>n∴.
5.已知函数
（１）试判断函数的单调性，并说明理由；
（２）若恒成立，求实数的取值范围；
（３）求证：.
解：（1）故在递减…3分
（2）记………5分

再令在上递增。
，从而g'(x)>0故g(x)在上也单调递增
………8分
（3）方法1：由（2）知：恒成立，即
令则………10分
………12分

叠加得：

……14分
方法2：用数学归纳法证明（略）。
6..数列{an}满足.
（Ⅰ）用数学归纳法证明：；
（Ⅱ）已知不等式，其中无理数
（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，，不等式成立.
（2）假设当时不等式成立，即
那么.这就是说，当时不等式成立.
根据（1）、（2）可知：成立.
（Ⅱ）证法一：
由递推公式及（Ⅰ）的结论有
两边取对数并利用已知不等式得
故
上式从1到求和可得

即
（Ⅱ）证法二：
由数学归纳法易证成立，故

令
取对数并利用已知不等式得

上式从2到n求和得

因
故成立.
7..
(1)若求的单调区间及的最小值;
(2)若,求的单调区间;
(3)试比较与的大小.,并证明你的结论.
.(1)
当时,在区间上是递增的.…2分当时,在区间上是递减的.故时,的增区间为,减区间为,.…………4分
(2)若,当时,
则在区间上是递增的;当时,,在区间上是递减的.…6分
若,当时,

则在区间上是递增的,在区间上是递减的;
当时,,在区间上是递减的,而在处有意义;则在区间上是递增的,在区间上是递减的.……8分综上:当时,的递增区间是,递减区间是;
当,的递增区间是,递减区间是.…………9分
(3)由(1)可知,当时,有即

=.…………14分
8.已知数列满足：，（其中为自然对数的底数）．
（1）求数列的通项；
（2）设，，求证：，．
解：（1），
，即．…………………………………3分
令，则，，
因此，数列是首项为，公差为的等差数列．
，…………………………………5分
．…………………………………6分
（2）（方法一）先证明当时，．
设，则，
当时，，
在上是增函数，则当时，，即．………8分
因此，当时，，，…………9分
当时，，．…………………10分
．
…………………………12分
．
………………………14分
（方法二）数学归纳法证明
（1），，当时，成立；
，，
又，，
当时，成立．……………………………………………8分
（2）设时命题成立，即，，
当时，，
要证，即证，
化简，即证．…………………………9分
设，则，
当时，，
在上是增函数，则当时，，即．