模糊集论在模式识别中的应用.ppt

“模糊”一词，译自英文“Fuzzy”，意为“模糊的”，“不分明的”。1965年美国控制理论专家L.A.Zadeh首先将“Fuzzy”一词引入数学界，他重新研究了数学的基础——集合论，他发现了集合论实质上是扬弃了模糊性而抽象出来的，是把思维过程绝对化，从而达到精确、严格的目的。即一个被讨论的对象X，要么属于某一集合A，记作XA，要么不属于该集合，记作XA，二者必居其一，绝不摸棱两可。这种方法完全忽略了X对于A的隶属度的差异，但这种差异有时是很重要的。例如“年轻人”这个集合，对于32岁的人来说，就不能说他是完全属于或不属于这个集合。应该说模糊性是客观世界的普遍现象，模糊思维是人类思维的特点。
精确性与模糊性的对立，是当今科学发展所面临的一个十分突出的矛盾。各门科学迫切要求数学化、定量化，但科学的深入发展意味着研究对象的复杂化，而复杂化的东西又往往难以精确化。
电子计算机的出现，在一定程度上正在解决着这个矛盾，然而计算机的应用也更深刻地暴露了这一矛盾，原先的基于数学公式基础上的程序，要求高度的精确，但机器所执行的日益繁杂的任务，往往无法实现高度的精确。例如：命令计算机从监视着大厅的摄像镜头中找出一个长满大胡子的高个子，如果程序在屏幕上提出问题：身长多少以上算大个子或许你勉强可以回答，但若计算机又问：有多少根胡子以上算大胡子？你将会被这个问题弄的啼笑皆非。
例:如图所示U={a,b,c,d},对U的每一元素指定一个它对“圆形”的隶属度，设为

这样就分别表征了它们对于“圆形”的隶属度。
当论域U是有限集时，可用向量来表示模糊子集，对于上例可写成=(1,0,9,0.5,0.2)。
也可用采用Zadeh的表示法：

上式右端并不是分式求和，而是一种标记法。
分母位置放的是论域U中的元素，分子位置放相应元素的隶属度。当某一元素的隶属度为0时，这一项可以不记入。例：以年龄作论域，取U=[0,200],Zadeh给出了“年老”与“年轻”这两个模糊集，的隶属函数如下：

隶属度函数的确定
隶属度是模糊集合赖以建立的基石，要确定恰当的隶属函数并不容易，迄今仍无一个“放之四海而皆准”的法则可遵循。这需要对要描述的概念有足够的了解，一定的数学技巧，而且还包括心理测量的进行与结果的运用。正如某一事件的发生与否有一定的不确定性（随机性）一样，某一对象是否符合某一概念也有一定的不确定性（我们称之为模糊性）。
随机性是因果率的一种破缺，在那里事件本身具有明确的含义，只是由于条件不完全，使得在条件与事件间不能出现决定性的因果关系。概率论的的运用，得以从随机性中把握广义的因果率——概率规律。
模糊性则是排中率的一种破缺，在这里由于概念本身没有明确的外延，故而某一对象是否符合这一概念的划分，就有不确定性，模糊数学正是从这一不确定性（模糊性）中确立广义的排中率——隶属规律。
模糊统计法7.2模糊子集的基本运算模糊子集运算的基本性质：
在普通集合中成立的各种基本性质，一般地对于模糊子集也都成立。其基本性质列出其后，但由于在模糊集中，一般地互补率不成立，因而需要注意到虽然模糊集在包含关系下构成分配格，但并未构成布尔格。各种基本性质如下：模糊集合与普通集合的相互转换：
在普通集合论中，设A,B是两个论域，称

为A,B的直积或笛卡儿积。
集合A，B的直积的一个子集R称为A到B的二元关系。若，记aRb。

推广到模糊子集
定义直积上的模糊关系是的一个模糊
子集。的隶属函数表示了U的元素x与V中的元素y具有这种关系的
程度。

模糊关系完全由其隶属函数来刻画，当仅取1或0两个极端值
时，模糊关系即变为经典关系。

2模糊关系的运算
（1）模糊关系的交、并、非运算
例设

则

如果对所有i,j都成立，则称

对任意的模糊集合，满足以下性质：
[1]交换律[2]幂等律[3]结合律[4]吸收律[5]分配律
对集合,，，，如果对于任意i,j均有
则称模糊矩阵包含模糊矩阵，记作，且有如下性质:
[6]，当且仅当，或当且仅当；

定义:设，，则称U到W的一个模糊关系
为对的合成，它具有隶属函数

当，记为，为…，为。

例:求，其中

解:根据定义，元素可由以下计算得到：

其他元素也可用同样的方法得到，从而
1最大隶属度原则
当已知模式类为一些模糊集，待识别对象是论域中某一元素时，识别对象往往不会绝对属于某一类型而绝对地不属于其他类型，也就是说它对各种类别有一定的隶属度，其取值范围为[0，1]。处理这种性质的问题时，可以根据隶属度最大的原则来分类。这种直接由计算样本的隶属度来判断其归属的方法，也称做模式分类的最大隶属度原则。
最大隶属度原则为：设论域U中有n个模糊子集，，…,，且样本对每一，均有隶属函数。若对一，有

则认为归属于类。
最大隶属度原则