湖南省长沙市长郡中学2021届高考模拟卷(一)数学(理)试题含答案.docx

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）
A．-4B．-1C．1D．4
2.以下四个命题，正确的是（）
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；
③在回归直线方程中，当变量每增加一个单位时，变量一定增加0.2单位；
④对于两分类变量与，求出其统计量，越小，我们认为“与有关系”的把握程度越小.
A．①④B．②③C．①③D．②④
3.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的实数的取值范围是（）
A．B．C．D．

4.某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形如图（2），其中，则该几何体的侧面积为（）
A．64B．80C．96D．128

5.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，有，则（）
A．B．C．D．
6.长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方均在早上7:40至8:00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（）
A．B．C．D．
7.已知函数，函数，若存在实数使得关于的方程有且只有6个实数根，则这6个根的和为（）
A．B．6C．12D．
8.在菱形中，，，将折起到的位置，若三棱锥的外接球的体积为，则二面角的正弦值为（）
A．B．C．D．
9.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于点，且，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
10.已知点，平面区域由所有满足的点组成的区域，若区域的面积为8，则的最小值为（）
A．B．2C．4D．8
11.已知数列满足，是其前项和，若，且，则的最小值为（）
A．B．3C．D．

第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知集合，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为.
14.在等差数列中，为数列的前项和，为数列的公差，若对任意，都有，且，则的取值范围为.
15.设椭圆与函数的图象相交于两点，若点在椭圆上，且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是.
16.已知（，且）可以得到几种重要的变式，如：，将赋给，就得到，…，进一步能得到：
.
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：
.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，内角的对边为，已知，，求的面积.
18.（本小题满分12分）
《环境空气质量指标（）技术规定（试行）》如表1：
表1：空气质量指标分组表

表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，指数与当天的空气水平可见度的情况.
表2：

表3是某气象观测点记录的长沙市2016年1月1日至1月30日指数频数统计表.
表3：

（1）设，根据表2的数据，求出关于的回归方程；
（2）小李在长沙市开了一家小洗车店，经小李统计：指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元；指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元；指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元.
（ⅰ）计算小李的洗车店在当年1月份每天收入的数学期望.
（ⅱ）若将频率看成概率，求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率.
（用最小二乘法求线性回归方程系数公式，.）
19.（本小题满分12分）
如图所示，异面直线互相垂直，，，，，，截面分别与相交于点，且平面，平面.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.

20.（本小题满分12分）
如图，抛物线的焦点为，取垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点，过作圆心为的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且.
（1）求抛物线和圆的方程；
（2）过点作倾斜角为的直线，且直线与抛物线和圆依次交于，求的最小值.

21.（本小题满分12分）
已知函数，，当时，
（1）求证：；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，是圆的直径，弦交于，，，.
（1）求圆的半径；
（2）求线段的长.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（是参数）.
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线与曲线相交于两点，且，求直线的倾斜角的值.