有限差分方法24差分方程的相容性收敛性和稳定性.ppt

差分方程相容性是讨论当时，差分方程逼近于微分方程的程度，因此，相容性是讨论差分方程和微分方程的关系。
定义：对于一足够光滑函数，若时间步长，空间步长趋近于0时，差分方程截断误差对于每一点都趋近于0，则该差分方程逼近微分方程，即差分方程与微分方程是相容的。
差分方程相容性可以通过Taylor展开方法来证明。例如，扩散方程的FTCS差分格式为：把作为t的函数，在邻域展开成Taylor级数，把和作为x的函数，在邻域展开成Taylor级数：

当时，上等式右侧所有项都趋近0，差分方程趋近于原微分方程，即FTCS差分方程和原方程是相容的。

关于差分方程相容性需要作以下说明：
相容性是对求解区域内任意一点差分方程逼近于微分方程的程度，相容性是有限差分算法（包括有限体积算法）首先必须满足的有效性条件。相容性要求对于求解区域内任意点，在同时趋近于0，截断误差趋近于0。如果不是同时趋近于0或并不趋近于0，而是趋近于某值，或结论并不是对每个点都成立，则差分方程就不满足相容性条件，差分方程也就不逼近于微分方程。
相容性条件不仅要求差分方程截断误差趋近于0，而且要求差分方程定解条件截断误差也同时趋近于0。
差分格式有两种不同形式的相容性，即无条件相容和有条件相容。2.4.2收敛性（Convergence）差分方程收敛性有两种证明方法，直接证明法和数值试验法。由（b）式可以看出离散化误差方程在形式上和差分方程是完全相同的，由此可以得到：式中表示在n层的所有节点上离散化误差绝对值最大值，对于所有节点j有：由此可得到：二、数值试验法关于差分方程收敛性需要作以下说明：粗看起来，差分方程相容性要求时，差分方程逼近于微分方程，似乎差分方程数值解也应该收敛于微分方程精确解。事实上，当我们在证明相容性时，已经假定了差分方程数值解就是微分方程精确解，在对微分方程进行展开时，截断误差中已经忽略了离散化误差的存在。因此，差分方程相容性并不能保证其收敛性。2.4.3稳定性（Stability）定义：在某一个时刻tn存在计算误差，若在时刻满足：下面我们用几个简单的例子来说明差分方程稳定性概念。在（a）式中设在tn时刻xj的计算误差为，而计算到n+100时刻，（xj，tn+100）点的计算误差将发展到，假定只有在节点（xj，tn）上存在误差，其他各节点的计算误差为零，则若取r=0.8，则。由此可以看出，这个计算误差必定会将差分方程精确解原来面目完全淹没了，所求得差分方程数值解已经没有任何意义了，因此，FTFS差分方程是不稳定的。（2）对流方程FTBS差分格式的误差传播方程为：由此可知，在n时刻的计算误差是不会大于，因此，当a＞0，时，FTBS差分格式是稳定的（见图a）。这是有条件的稳定，稳定的条件是a＞0，。但是，对于不同的a，Δt，Δx，FTBS差分格式的稳定条件是不同的（见图b）。当a=1，Δx=0.1，r=0.8，则有：；
当a=1，Δx=0.1，r=1.0，则有：；
当a=1，Δx=0.1，r=2.0，则有：。图b中给出了上述不同条件下差分方程计算误差的图解。从图中可以发现，当r=1.0时，差分方程解和微分方程解是一致的；当r=0.8时，在差分方程解的两端有耗散现象，当r=2.0时，差分方程解会出现振荡，并且在t=nΔt继续增加时，振荡也继续加剧，直到计算完全失败。
数值分析表明，FTBS差分方程只有在r1.0时计算才是稳定，当r＞1.0时差分方程计算是不稳定。我们已经讨论了差分方程稳定性和收敛性。稳定性是反映差分方程在时间进程上的特性，收敛性是反映差分方程空间位置上的特性，它们都体现了差分方程内在性质，都是十分重要的基本概念。那么，差分方程收敛性和稳定性之间存在什么关系呢？Lax定理给出了这个问题的答案。
Lax定理：对于适定和线性的初值问题微分方程，若逼近它的差分方程和它是相容的，则差分方程稳定性是差分方程收敛性的充分和必要条件。
Lax定理可以形象地表示为：

计算实践表明，差分方程相容性是比较容易证明的，证明差分方程稳定性也是有不少方法，而差分方程收敛性证明一般是比较麻烦的。Lax定理告诉我们只要证明了差分方程稳定性，则该差分方程一定是收敛的，因此，我们可以利用Lax定理通过证明差分方程稳定性来证明差分方程收敛性。