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一道中考题的质疑与探究
河南省鹤壁市山城区实验中学张玉芳13783018931
【问题与背景】
2009年内江市中考有如下一道填空题：
已知Rt△ABC的周长是4+，斜边上的中线长是2，则S△ABC=。
本题的出题宗旨，主要考查学生如下知识：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）勾股定理；
（3）两数和、两数平方和与两数积三者之间的关系；
（4）数形结合思想。
这道填空题出题者可谓煞费苦心，学生既要考虑各知识点间的内在联系，又要具备灵活应用能力。对于考查学生注重知识的形成过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理念。
按照其出题宗旨，有如下解法：
在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边为ａ、ｂ、ｃ。
由斜边上的中线长为２，知ｃ＝４，故+==16。
由Rt△ABC的周长是4+，知a+b=。
∴ab=[(a+b)-(a+b)]=16。
∴S△ABC=ab=8。
【质疑与讨论】
在解本题时，多数学生按照上述思路，计算出的面积为8，但少数学生说此题无解，这是为什么呢？难道是题出错了？班里立刻沸腾起来，有的学生说中招题不可能出错，有的说不能迷信权威，众说纷纭，各执一词。
师：首先请有疑问的同学说说解题思路，其他同学认真倾听、分析思路并发表见解。
生1：由题意知：a+b=,c=4。
根据勾股定理，得：a+（-a）=。
整理，得：a-a+16=0。
△=（-）-4×1×16=-16＜0。
∴此方程没有实数根。
即不存在两直角边和为，斜边为4的直角三角形。
生2：原来你想到了利用一元二次方程根的判别式，有道理。
生3：利用反证法也可以证明。
如图1，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CE为AB边上的中线，CE=2，CF⊥AB，垂足为F。假设S最大=8成立，由×AB×CF=8，可得CF=4。
图1
C
B
F
E
A
∴CF＞CE。
这与“垂线段最短”相矛盾，故假设不成立。
即不存在两直角边和为，斜边为4的直角三角形。
生4：就是，我怎么就没有想到验证一下呢！
生5：我还可以用函数极值法证明。
设△ABC的面积为S,由a+b=,知b=-a。
则S=a（-a）=-（a-）+6。
∴当a=时,S最大=6。
∴S=8不成立，即不存在两直角边和为，斜边为4的直角三角形。
师：二次函数是一种重要的函数模型，经常通过建立二次函数模型确定最大（小）值，灵活运用函数思想会给我们解决数学问题带来很大方便。
生7：我们曾经用图2验证过勾股定理。
在Rt△ABC中，易知AE=，而CD=a+b=＞。
∴CD＞AE
但实际上CD＜AE
∴不存在两直角边和为，斜边为4的直角三角形。
生8：我有一个疑问，图2中a≠b，如果a=b呢？
生7：如图3，当a=b时，四边形ACDE是一个矩形，而CD=a+b=,AE=。
∴CD＞AE，但实际上CD=AE。
∴不存在两直角边和为，斜边为4的直角三角形。
A
b
E
c
a
c
D
C
a
B
b
图2
图3
a
c
E
E
c
A
B
D
C
E
b
b
a
师：生7独辟蹊径，联想到教材，思维严谨。

师：刚才四位同学用四种不同的方法证明了这道填空题的错误，不仅展示了多种数学思想方法，还能从不同的角度认识问题、解决问题。
【反思与探究】
生9：我们以前曾经做过类似的题目。
如:直角三角形中，两直角边a、b的和为8cm，斜边c为cm，此三角形的面积为。
这个题有没有错？
生10：解一下不就知道了。
生9：那多麻烦，我们能不能找到这类题目中两直角边之和与斜边满足的关系？
师：那我们就共同探究一下。
生11：设直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c。
则ab=[(a+b)-c]
∴a、b是方程x-（a+b）x+[(a+b)-c]=0的两个根。
△=[-(a+b)]-4×1×[(a+b)-c]=2c-(a+b)。
由方程有实数根，知2c-(a+b)≥0。
由c＞0，a+b＞0,可得c≥a+b。
又a+b＞c,故c＜a+b≤c。
生12：如图4，当a≠b时,易知AE=c,CD=a+b。
由CD＜AE,知a+b＜c。
如图5，当a=b时，易知AE=c,CD=a+b。
由CD=AE,知a+b=c。
∴a+b≤c
A
D
图4
A
b
C
a
B
b
a
E
c
c
又a+b＞c,故c＜a+b≤cE
B
图5
E

D
a
b
C
c
c
a
b
E

生13：当a+b=8，c=时，显然满足c＜a+b≤c，这真是一个不错的结论。
这样S=ab=×[(a+b)-(a+b)]=7.5。
【启示】
“数学活动是现实情境的仿真，最适合以自主探索、合作交流和动手实践的方式开展发现、探究，是培养学生适应社会和改造社会的综合能力的最佳方式。”在精心创设的问题情境中，学生的数学品质和创新能力得到发展。