2011年北京市朝阳区高三第一学期期末试卷（理科）2011.1.doc

北京市朝阳区2010～2011学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学试卷（理科）2011.1
（考试时间120分钟满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．设全集，，，则是
（A） （B） （C） （D）
2．要得到函数的图象，只要将函数的图象
（A）向左平移单位 （B）向右平移单位
（C）向右平移单位 （D）向左平移单位

3．设，，是三个不重合的平面，是直线，给出下列命题
①若，，则； ②若上两点到的距离相等，则；
③若，，则； ④若，，且，则.
其中正确的命题是
（A）①② （B）②③ （C）②④ (D)③④

4．下列函数中，在内有零点且单调递增的是
（A） （B）（C） (D)

5．已知数列的前n项和为，且,则等于
（A）4（B）2（C）1（D）-2
6.若为不等式组表示的平面区域，则从-2连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为
（A）（B）（C）(D)

7．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于
（A）（B）（C）(D)

8．如图，正方体中，，分别为
棱，上的点.已知下列判断：
①平面；②在侧面上
的正投影是面积为定值的三角形；③在平面
内总存在与平面平行的直线；④平
面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，与点的位
置无关.
其中正确判断的个数有
（A）1个（B）2个
（C）3个（D）4个

第二部分（非选择题共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.
9．已知，，则.

10．如图，是⊙的直径，切⊙于点，切⊙于
点，交的延长线于点.若，，则
的长为________.

11．曲线（为参数）与曲线的直角坐标方程分别为，，两条曲线的交点个数为个.

12.已知一个正三棱锥的正视图如图所示，则此正三棱锥的
侧面积等于.

13．已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于
轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是.

14．已知数列满足：，定义使
为整数的数叫做企盼数，则区间内所有的企盼数的和为
.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．（本小题满分13分）
已知△中，.
（Ⅰ）求角的大小；
20070316
（Ⅱ）设向量，，求当取最小值时，
值.

16．（本小题满分13分）
C
A
B
P
如图，在三棱锥中，，，侧面为等边三角形，侧棱．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．

17．（本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，讨论的单调性.

18．（本小题满分13分）
已知函数（为实数，，），
（Ⅰ）若， 且函数的值域为，求的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当时，是单调函数，求实数
的取值范围；
（Ⅲ）设，，，且函数为偶函数，判断是
否大于？

19．（本小题满分14分）
设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且，若过，，三点的圆恰好与直线：相切.过定点的直线与椭圆交于，两点（点在点，之间）.
x
O
y
Q
A
·
·
F2
F1
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线的斜率，在轴上是否存在点
，使得以，为邻边的平行四
边形是菱形.如果存在，求出的取值范围，
如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若实数满足，求的取值范围.

20．（本小题满分14分）
已知函数（，，为常数，）.
（Ⅰ）若时，数列满足条件：点在函数的图象上，求的前项和；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，，（），
证明：；
（Ⅲ）若时，是奇函数，，数列满足，，
求证：.