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高中数学选修2-2知识点总结

第一章、导数

yff(x)f(x)f(xx)f(x)
1．函数的平均变化率为2111
xxxxx
21
注1：其中x是自变量的改变量，平均变化率可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

yf(xx)f(x)
limlim00
2、导函数的概念:函数yf(x)在xx处的瞬时变化率是，
0x0xx0x

则称函数yf(x)在点x处可导，并把这个极限叫做yf(x)在x处的导数，记作f'(x)或
000

yf(xx)f(x)
y'|limlim00
xx，即f'(x)=.
00x0xx0x

3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；
函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景〔1〕切线的斜率；〔2〕瞬时速度；

5、常见的函数导数
函数导函数
(1)ycy'0

(2)yxnnN*y'nxn1

(3)yaxa0,a1y'axlna

(4)yexy'ex

1
(5)ylogxa0,a1,x0y'
axlna
1
(6)ylnxy'
x
(7)ysinxy'cosx

(8)ycosxy'sinx

6、常见的导数和定积分运算公式:假设fx，gx均可导〔可积〕，则有：

和差的导数运算f(x)g(x)'f'(x)g'(x)

f(x)g(x)'f'(x)g(x)f(x)g'(x)
积的导数运算
特别地：Cfx'Cf'x

f(x)'f'(x)g(x)f(x)g'(x)
(g(x)0)
g(x)g(x)2
商的导数运算
1g'(x)
特别地：'
gxg2x

复合函数的导数yyu
xux

bfxdxF(a)--F(b)
微积分基本定理a
〔其中F'xfx〕

b[f(x)f(x)]dxbf(x)dxbf(x)dx
1212
和差的积分运算aaa
bkf(x)dxkbf(x)dx(k为常数)
特别地：aa
积分的区间可加性bf(x)dxcf(x)dxbf(x)dx(其中acb)
aac

.用导数求函数单调区间的步骤:
①求函数f(x)的导数f'(x)

②令f'(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.

③令f'(x)<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；
[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f(x)的极值的步骤：
(1)确定函数的定义域。
(2)求函数f(x)的导数f'(x)

(3)求方程f'(x)=0的根
(4)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成假设干小开区间，并列成表格，

检查f/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如
果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处
无极值
8.利用导数求函数的最值的步骤:求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：

⑴求f(x)在a,b上的极值；

⑵将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；

9．求曲边梯形的思想和步骤:分割近似代替求和取极限〔“以直代曲”的思想〕

10.定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1b1dxba
a
性质5假设f(x)0,xa,b，则bf(x)dx0
a
①推广：b[f(x)f(x)f(x)]dxbf(x)dxbf(x)dxbf(x)
a12ma1a2am

bccb
②推广:f(x)dx1f(x)dx2f(x)dxf(x)dx
aacc
1k

11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取
负值，还可能是0.
(l当对应的曲边梯形位于)x轴上方时，定积分的值
取正值，且等于x轴上方的图形面积；
〔2〕当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的
值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；
（3）当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x
轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴
上方图形的面积减去下方的图形的面积．

12．物理中常用的微积分知识〔1〕位移的导数为速度，速度
的导数为加速度。〔2〕力的积分为功。

第二章、推理与证明知识点
13.归纳推理的定义：
从个．．．．别事实中推演出一．．般性．的结论，像这样的推理通常称为归