厦门大学2023年《825高等代数》考研专业课真题试卷.pdf

厦门大学2023年硕士研究生招生考试试题

科目代码：825科目名称：高等代数

考生注意：答案要写在答题纸上，写在试题纸上无效

一、填空题

1、设ᵃ是ᵅ阶矩阵，且ᵃ的行列式ᵅ
ⅇᵆ
ᵃ=2。若交换ᵃ的第一行和第二行得矩阵ᵃ，则

ᵅ
ⅇᵆ
(ᵃᵃ∗)=。（其中ᵃ∗为ᵃ的伴随矩阵）

2023202320232023
4
ᵄᵄᵄᵄ4
2、已知ᵃ=(21222324)，且ᵅ
ⅇᵆ
ᵃ=ᵄ，则∑∑ᵃ=。
ᵄᵄᵄᵄᵅᵅ
31323334ᵅ=1
ᵄᵄᵄᵄᵅ=1
41424344

（其中ᵃ为ᵃ中(ⅈ，ᵅ)个元素所对应的代数余子式。
ᵅᵅ

123
3、若ᵃ=(456)，且ᵯ，ᵯ，ᵯ为线性无关的3维推向量，则ᵃᵯ，ᵃᵯ，ᵃᵯ的秩
123123
789

为。

00ᵄ
4、已知ᵄ={(ᵄ+3ᵄᵅ0)|ᵄ,ᵄ,ᵅ∈ᵃ}按通常定义的矩阵运算构成数域ᵃ上的线性空
0ᵄ−ᵅᵄ

间，则ᵄ的维数为。

5、设ᵱ
是线性空间ᵄ到ᵄ
的线性映射，ᵰ，ᵰ，ᵰ是ᵄ的一个基，ᵰ，ᵰ是ᵄ
的一个基，且ᵱ

12312

112
在ᵰ，ᵰ，ᵰ与ᵰ，ᵰ下的表示矩阵为()，则ᵱ
的核空间ᵃⅇᵅ=ᵱ
。
12312−110

6、已知ᵅ(ᵆ)是4次实系数多项式，且ᵅ(ᵆ)=3(ᵅ(ᵆ),ᵅ′(ᵆ))ᵆ(ᵆ2+1)，则ᵅ(ᵆ)=。

7、设ᵯ，ᵯ
是数域ᵃ上的ᵅ维列向量，且ᵯ
ᵄᵯ=3，则ᵯᵯ
ᵄ的所有特征值为。

8、设ᵅ阶方阵ᵃ的特征值全为1且只有一个线性无关的特征向量，则ᵃ的不变因子

为。
9、设ᵯ，ᵯ，⋯，ᵯ是ᵅ维欧氏空间ℝᵅ中的非零正交向量组，ᵯ
，ᵯ
是ℝᵅ中的向量，且
12ᵅ−112

(ᵯ
,ᵯ)=0，ⅈ=1,2；ᵅ=1,2⋯ᵅ−1。则ᵯ
，ᵯ
必定。（线性相关或线
ᵅᵅ12

性无关）

10、若二次型ᵅ(ᵆ,ᵆ,ᵆ)=ᵄᵆ2+ᵄᵆ2+(ᵄ−1)ᵆ2+2ᵆᵆ−2ᵆᵆ，则ᵄ=时，
1231231323

ᵅ(ᵆ,ᵆ,ᵆ)在实数域ℝ上的规范型为ᵆ2+ᵆ2。
12312

1ᵄ001
01ᵄ0−1
二、已知ᵃ=()，ᵯ
=()，且非齐次线性方程组ᵃᵆ=ᵯ
有无穷多解。
001ᵄ0
ᵄ0010

（1）求ᵄ的值；

（2）求ᵃᵆ=ᵯ
的通解。

122
三、设ᵃ=(212)，求正交矩阵ᵄ与上三角阵ᵄ，使得ᵃ=ᵄᵄ。
−121

四、设ᵃ是复数域ℂ上的ᵅ阶方阵，ᵅ(ᵆ)=ℂ[ᵆ]，g(ᵆ)是ᵃ的极小多项式，(ᵅ(ᵆ),ᵅ(ᵆ))=ᵅ
(ᵆ)。

证明：

（1）秩ᵅ
(ᵃ)=秩ᵅ(ᵃ)；

（2）ᵅ(ᵃ)可逆当且仅当(ᵅ(ᵆ),ᵅ(ᵆ))=1。

五、若ᵃ是秩为ᵅ的ᵅ阶复方阵，0<ᵅ<ᵅ，且秩(ᵃ)=秩(ᵃ2)。证明：存在ᵅ阶可逆矩阵ᵄ和

ᵃᵄ
ᵅ阶可逆矩阵ᵃ，使得ᵃ=ᵄ()ᵄ−1。
ᵄᵄ

六、设ᵃ是ᵅ阶实正定矩阵，且ᵃ的非主对角线上的元素皆小于0。证明：ᵃ的逆矩阵的所有

元素皆大于0。

七、设ᵄ是复数域ℂ上的ᵅ维线性空间，ᵱ
：ᵄ→ℂ(ⅈ=1,2)是非零线性映射，且不存在复数
ᵅ
ᵅ使得。ᵱ
=ᵅᵱ
。证明：ᵄ中的任一向量ᵯ都可以表为ᵯ=ᵯ+ᵯ，其中ᵱ
(ᵯ)=ᵱ
(ᵯ)，
1212112

ᵱ
(ᵯ)=ᵱ
(ᵯ)。
221

八、设ᵄ是复数域ℂ上的ᵅ维线性空间，ᵱ
是ᵄ上的线性变换。证明：存在复系数多项式ᵅ(ᵰ)，

使得ᵅ(ᵱ
)=ᵯ，其中ᵯ可对角化，且ᵱ
与ᵯ的特征多项式相同。