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实验三非线性回归分析（2学时）

一、实验重点
掌握非线性回归分析的方法。

二、实验难点
模型的选择及对SPSS软件的输出结果进行分析和整理。

三、实验举例
例1、对GDP（国内生产总值）的拟合。选取GDP指标为因变量，单位为亿元，拟合GDP关于时间t的趋势曲线。以1981年为基准年，取值为t=1,1998年t=18,1991-1998年的数据如下：

年份tGDP年份tGDP14862.41018547.925294.71121617.835934.51226638.1471711334634.458964.41446759.4610202.21558478.1711962.51667884.6814928.31774462.6916909.21879395.7

解：分析过程

（一）画散点图

图3.1：Y与t的散点图

图3.2：LnY与t的散点图

（二）根据画散点图，及经济背景可选用模型
复合函数：（也称增长模型或半对数模型）
同时，做简单线性回归以作比较。

（三）模型求解
直接用SPSS软件的CurveEstimation命令计算。（也可以用线性化的方法求解，结果基本一致。）
运行结果如下：

（四）结果分析
线性回归方程：

复合函数回归方程：………（*）

注意：不能直接比较两模型的拟合优度，需要对复合函数模型处理，利用(*)式，得到复合函数的残差，计算该模型的残差平方和RSS=2.1696×108，并计算y的离差平方和TSS=1.1×1010，得到非线性回归的相关指数

由于该相关指数大于线性回归的拟合优度，所以可以判断复合函数模型比线性回归模型要好。

例2、一位药物学家是用下面的非线性模型对药物反应拟合回归模型

其中，自变量x为药剂量，用级别表示；因变量y为药物反应程度，用百分数表示。三个参数c0,c1,c2都是非负的,c0的上限是100%，三个参数的初始值取为c0=100,c1=5,c2=4.8.测得9个数据如下表：
x123456789y(%)0.52.33.42454.782.194.896.296.4解：
分析过程：

（一）画散点图

从图形上看，y与x确实呈非线性关系！
（二）模型求解
用SPSS软件的Nonlinear命令计算，具体操作如下：
（1）建立数据集；
（2）在数据窗口点击：Analyze→Regression→Nonlinear…,出现窗口

在将y点入Dependent框中，
在ModelExpression框中输入表达式：c0-c0/(1+(x/c2)**c1)
（3）点击Parametere…,出现下图：

在Name框中输入:c0
StartingValue框中输入：100
点击add,即可得到参数c0的初始赋值，类似的方法可以得到c1和c2参数的初始赋值，Continue。

（三）输出主要结果

（四）结果分析
回归模型：

非线性回归的相关指数

注：在非线性回归中，TSS≠ESS+RSS,如本例中，RSS=20.18803TSS=14917.88889，ESS=37839.85179

四、实验内容
Logistic回归函数常用于拟合某种消费品的拥有率，下表是北京市每百户家庭平均拥有的照相机数，试针对以下两种拟合Logistic回归函数：

(1)已知u=100，用线性化方法拟合；
(2)u未知，用非线性最小化方法拟合。
年份ty年份ty197817.519881159.6197929.819891262.21980311.419901366.51981413.319911472.71982517.219921577.21983620.619931682.41984729.119941785.41985834.619951886.81986947.419961987.219871055.5
五、思考练习
某种商品的流通率y(%)与销售额x之间呈双曲线函数模型：

对9个商店该种商品的销售额与流通率的统计资料如下所示。

商店编号123456789销售额（万元）1.54.57.510.515.516.519.522.525.5流通费率y（%）7.04.83.63.12.72.52.42.32.2