北大、清华近年自主招生等数学试题 MICROSOFT WORD 文档.doc

2011年华约数学试题
一、选择题：
（1）设复数z满足|z|＜1，且|eq\o(z,\s\up3(-))＋eq\f(1,z)|＝eq\f(5,2)，则|z|＝（A）eq\f(4,5) （B）eq\f(3,4) （C）eq\f(2,3) （D）eq\f(1,2)
（2）在正四棱锥P-ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为eq\r(2)，则异面直线DM与AN所成角的余弦为（A）eq\f(1,3) （B）eq\f(1,6) （C）eq\f(1,8) （D）eq\f(1,12)
·O
·O1
·O2
A
B
C
（3）过点(－1，1)的直线l与曲线y＝x3－x2＋3相切，且(－1，1)不是切点，则直线l的斜率为（A）2 （B）1 （C）－1（D）－2
（4）若A＋B＝eq\f(2,3)，则cos2A＋cos2B的最小值和最大值分别为
（A）1－eq\f(\r(3),2)，eq\f(3,2) （B）eq\f(1,2)，eq\f(3,2)
（C）1－eq\f(\r(3),2)，1＋eq\f(\r(3),2) （D）eq\f(1,2)，1＋eq\f(\r(2),2)
（5）如图，⊙O1和⊙O2外切于点C，⊙O1、⊙O2又都和⊙O内切，切点分别为A，B，设∠AOB＝α，∠ACB＝β，则
（A）cosβ－sineq\f(α,2)＝0（B）sinβ＋coseq\f(α,2)＝0
（C）sin2β＋sinα＝0 （D）sin2β－sinα＝0
（6）已知异面直线a，b成60°角，A为空间一点，则过A与a，b都成45°角的平面
（A）有且只有一个（B）有且只有两个
（C）有且只有三个 （D）有且只有四个
（7）已设a＝(0，1)，b＝(－eq\f(\r(3),2)，－eq\f(1,2))，c＝(eq\f(\r(3),2)，－eq\f(1,2))，xa＋yb＋zc＝
(1，1)，则x2＋y2＋z2的最小值为
（A）1 （B）eq\f(4,3) （C）eq\f(3,2)（D）2
A
B
C
D
E
F
（8）AB为过抛物线y2＝4x焦点F的弦，O为坐标原点，且∠OFA＝135°，C为抛物线准线与x轴的交点，则∠ACB的正切为（A）2eq\r(2) （B）eq\f(4eq\r(2),5)
（C）eq\f(4eq\r(2),3) （D）eq\f(2eq\r(2),3)
（9）如图，已知△ABC的面积为2，D，E分别为边AB，AC上的点，设eq\f(AD,AB)＝x，eq\f(AE,AC)＝y，eq\f(DF,DE)＝z，且y＋z－x＝1，
则△BDF面积的最大值为
（A）eq\f(8,27) （B）eq\f(10,27) （C）eq\f(14,27) （D）eq\f(16,27)
（10）将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则
（A）存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形
（B）存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形
（C）存在某种分法，所分出的三角形至少有三个锐角三角形
（D）存在某种分法，所分出的三角形恰有一个锐角三角形

二、解答题：
（11）已知△ABC不是直角三角形．
（Ⅰ）证明：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC；
（Ⅱ）若eq\r(3)tanC－1＝eq\f(tanB＋tanC,tanA)，且sin2A，sin2B，sin2C的倒数成等差数列，求coseq\f(A－C,2)的值．

（12）已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）。质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处．
（Ⅰ）若b＝3a，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；
（Ⅱ）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？
（13）已知函数f(x)＝eq\f(2x,ax＋b)，f(1)＝1，f(eq\f(1,2))＝eq\f(2,3)．令x1＝eq\f(1,2)，xn＋1＝f(xn)．
（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）证明：x1x2…xn＋1＞eq\f(1,2e)．

（14）已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a＞0，b＞0），F1、F2在分别为C的左、右焦点，P为C右支上一点，且使