数学建模(概率模型).pdf

概率论在数模竞赛中的应用

§1概率论的基础知识

一、随机事件及其概率

随机事件——在一次试验中可能发生也可能不发生的事件，记为AB,,。

随机事件A发生的可能性的大小，称为事件A的概率，记为PA()。如果一次试验的结

k
果，有n种等可能的情形，其中有k种情形事件A会发生，则PA()。
n
概率运算法则：

（1）逆事件（对立事件）A的概率

PAPA()1()。

（2）事件之和AB（AB）的概率

P()()()()ABPAPBPAB。

如果A与B互不相容（互斥），则

PABPAPB()()()。

（3）事件之差AB（AB）的概率

P()()()ABPAPAB。

如果AB，则

PABPAPB()()()。

（4）事件之积AB（AB）的概率

P()()()()()ABPAPBAPBPAB。

如果A与B相互独立，则

P()()()ABPAPB。

（5）在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率（条件概率）
P()AB
PAB()。
PB()

如果AB，则

5
PA()
PAB()。
PB()

（6）全概率公式

n
设互不相容，，则
BBB1,,,2nABi
i1

n
。
PAPBPAB()()()ii
i1

二、随机变量及其分布

随机变量——随着试验结果的不同而随机地取各种不同值的变量，记为,,（或

XY,,）。

（1）离散型随机变量的概率分布（分布列，分布律）

P{}xipi，i1,2,。

即有

x1x2xi

P{}xip1p2pi

概率分布的主要性质：
。，。
P{}xipi1P{xi}pi0i1,2,
ii

（2）随机变量的分布函数

F(){}xPx，x。

分布函数的主要性质：

P{}abF()()bFa。

（3）连续型随机变量的概率密度（分布密度，密度函数）

x
如果有函数()x，使得对任何实数x，都有F(){}xPx(x)dx，则称()x


是的概率密度。

概率密度的主要性质：

6
d
()xF()x。
dx

(x)dx1。(x)0，x。


b
P{}ab(x)dx。
a
（4）随机变量的独立性

随机变量与的相互独立的充分必要条件是：

F(,){,}xyPxyP{}{}()()xPyFxFy，x,y。

离散型随机变量与的相互独立的充分必要条件是：

P{,}xiyjP{}{}xiPyj，i,j1,2,。

连续型随机变量与的相互独立的充分必要条件是：

2dd
(,)(,)xyFxyF()xF()()()yxy，x,y。
xydxdy

三、随机变量的数字特征
数字特征——能够将随机变量分布的主要特征表达出来的数字。
（1）随机变量的数学期望（均值）E

xP{}x当的概率分布为P{}x时
iii
i。
E
x()xdx当的概率密度为()x时


（2）随机变量的函数f()的数学期望Ef()

f(){}xPx当的概率分布为P{}x时
iii
i。
Ef()
f()()xxdx当的概率密度为()x时


（3）随机变量的方差D（Var）

DEE()2EE()()22。

（4）随机变量的标准差（均方差，根方差）

D。

7
（5）随机变量与的协方差（相关矩）Cov(,)

Cov(,)EEE[()()]EEE()。

（6）随机变量与的相关系数（r）

Cov(,)
。
DD

（7）数字特征的运算法则（设BC,为常数，,为随机变量）

E()BCBEC，E()EE，DBCBE()2。

当与相互独立时，有

D()DD，EEE()，Cov(,)0，0。

四、常用分布及其数字特征

数学
方差
分布分布期望
概率分布或概率密度
名称记号D
E

二项
kknknp
b(,)npP{k}Cnp(1p)，k0,1,,nnp(1p)
分布

k
Poisson
P()P{}ke，k0,1,2,
分布k!

几何11p
g()pP{k}