菲涅耳圆孔衍射.pdf

2.菲涅耳衍射

1、波长为556nm的单色平面波经过半径分别为ρ1＝2.5mm，ρ2＝5nm的小

孔．极点到观察点的距离为60cm．试分别汁算波面包含的菲涅耳半波带数．
解：根据菲涅耳圆孔衍射，合振幅的大小取决于波面上露出带的数目k，其
数值由下式确定，即：

ρ211
k=(+)
λRr0

由于入射的是平面波，故R＝∞，将ρ1＝2.5mm，ρ2＝5nm，

－5
λ=5.56×10cm，r0＝60cm代入上式，得：
0.252
k=＝18.7≈19
15.56×10－8×60
0.52
k=＝74.9≈75
25.56×10－8×60

2、波长λ＝563.3nm的平行光投射在直径d＝2.6mm的圆孔。与圆孔相距

r0＝1m处放一屏幕．试问：

(1)屏幕上正对圆孔中心的P点是亮还是暗点7
(2)使P点变成与(1)相反的情况，至少应把屏幕向前(或向后)移动多
少距离?
解：(1)P点的亮暗取决于圆孔中包含的波带数是奇数还是偶数．当平行光
入射时，波带数为：
ρ2(d/2)2(1.3)2
＝
k===－633
λr0λr0(563.3×10（)10）
故P点为亮点．
(2)当P点向前移向圆孔时，相应的波带数增加，波带数增大到4时，P点
变成暗点．此时，P点至圆孔的距离为：

′ρ2(1.3)2
r==＝750mm
0kλ4×563.3×10－6
则P点移动的距离为

∆r=r0−r′=100−75=25cm
当P点向后移离圆孔时，波带数减少，减少为2时，P点也变成暗点，与此
对应的P到圆孔的距离为：

ρ2(1.3)2
r′′==＝1500mm
kλ2×563.3×10－6
则P点移动的距离为：

∆r＝r′′−r0=150−100=50cm

3、试证明：若f′是波带片的焦距、相应决定一个主焦点F’，则在f′／3、

f′／5，f′／7…处尚有一系列次焦点．

题3图
解：菲涅耳波带片有许多焦点，由于波带片是相对于某一点F’划分的，换
言之．对F’而言相邻波带的程差为λ／2．但是对F’点的一个半波带对较近点
将变为几个，波带片一个环带内所包含的半波带数也相应变多．如果对某一考察
点，波带片一个环带内含有2j＋1个，即奇数个半波带，其中的2j个因双双位
相相反而抵消，但是仍有一个较小的半波带对考察点的振幅有贡献．而相邻两环
带的有效小波带的光程差为：
λ
(4j+2)=(2j+1)λ
2
为波长的整数倍，故考察点为一较弱的亮点，这就是波带片的次焦点。

如图所示，设对某点，波带片一个环带内含有2j＋1个半波带，由几何
Fj′

关系得：

λ
ρ2+f′2=[f′+k(2j+1)]2（1）
1jj2

2
由于：ρ1=kλf（2）

2
2222λ
故：fk′λ+f′=f′+f′k(2j+1)λ+k(2j+1)
jjj4

由于r》λ，略去上式中的λ2项，则：

fk′λ=fj′k(2j+1)λ
f′
即：f′=（3）
j2j+1
式中j为整数，显然，j＝0对应主焦距，当j＝1、2、3…时，可得对应的
次焦距为：

fj′=f′/3、f′/5、f′/7…
或者把式（2）代入式（3）得：
1ρ2
f′=1
j2j+1kλ
波带片的聚光特性与透镜十分相似，因此将把波带片称为菲涅耳透镜，它可
用全息方法制取．现广泛用于微波、宇航技术中。

4、单色平面光波投射到一圆孔上，位于孔的对称轴线上的P。点进行观察，
圆孔恰好露出半个半波带．试问P。点的光强为自由传播时的光强的多少倍？
题4图
解：在自由传播中，波带将全部裸露，即：
aa
A=1±k
k22

中k→∞，ak→0，则：
a
A=A=1
∞k2
a2
I=1
∞4

当圆孔对于P。点，恰好露出半个半波带时，其振幅矢量图中以表
AI/2

示，由图中几何关系可知：

aaa2
I=A2=(1)2+(1)2=1
I/21/2222

故：I1/2:I∞=2:1

5、1)已知波带片到光源的距离为a，到观察点的距离为b，波长为λ，求

0
第m级菲涅耳带的半径。2)若a＝b＝10米，λ=4500A，求第一带的半径。

解：1）
rm≈abmλ/(a+b)

2）r1=0.15厘米

6、1)当平面波入射到波带片时，求第m级菲涅耳带的半径。2)如上题所

0
设b＝10米，λ=4500A，求此时第一带的半径r1。

解：1）
rm≈abmλ

2）r1=0.212厘米

7、对一半径为a的会聚球面波从凹面作菲涅耳带。波面到观察点的距离为b，
求第m级菲涅耳带半径rm的表达式。

解：rm≈abmλ/a−b

8、光源距波带片3米远，波带片在距其2米处给出光源的象。若将光源移
向无穷远时，象在何处?
解：在距离为1.2米处。

9、若波带片第五环的半