中考数学-第二编-中档题突破专项训练篇-中档题型训练五圆的有关计算证明与探究试题.doc

中档题型训练(五)圆的有关计算、证明与探究
圆的有关计算与证明是河北中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系．
圆的切线性质与判定

【例1】(2016天水中考)如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.
(1)判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC＝2，⊙O的半径是3，求BE的长．
【思路分析】(1)连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB＋∠DBA＝90°，从而得出∠CDA＋∠ADO＝90°，再根据切线的判定推出即可；(2)首先利用勾股定理求出DC，由切线长定理得出DE＝EB，在Rt△CBE中根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【学生解答】解：(1)直线CD和⊙O的位置关系是相切．理由是：连接OD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠DBA＝90°.∵∠CDA＝∠CBD，∴∠DAB＋∠CDA＝90°.∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠CDA＋∠ADO＝90°，即OD⊥CE，∴直线CD是⊙O的切线，即直线CD和⊙O的位置关系是相切；
(2)∵AC＝2，⊙O的半径是3，∴OC＝2＋3＝5，OD＝3.在Rt△CDO中，由勾股定理得CD＝4.∵CE切⊙O于点D，EB切⊙O于点B，∴DE＝EB，∠CBE＝90°，设DE＝EB＝x，在Rt△CBE中，由勾股定理，得CE2＝BE2＋BC2，则(4＋x)2＝x2＋(5＋3)2，解得x＝6，即BE＝6.

1．(2016毕节中考)如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于点F，AC＝FC.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)已知圆的半径R＝5，EF＝3，求DF的长．

解：(1)如图，连接AE，AO.∵BE为半圆，∴∠BAE＝90°.∵eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(ED,\s\up8(︵))，∴∠BAD＝∠EAD＝45°，∴∠AFC＝∠B＋45°，∴∠CAF＝∠EAC＋45°.∵AC＝FC，∴∠AFC＝∠CAF，∴∠B＋45°＝∠EAC＋45°，∴∠B＝∠EAC.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B，∴∠EAC＝∠OAB，∴∠OAC＝∠OAE＋∠EAC＝∠OAE＋∠OAB＝∠BAE＝90°，∴AC⊥OA，∴AC为⊙O为切线；
(2)如图，连接OD.∵eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(DE,\s\up8(︵))，∴∠BOD＝∠DOE＝90°.在Rt△OFD中，OF＝5－3＝2，OD＝5，∴DF＝eq\r(OF2＋OD2)＝eq\r(29).
2．(2016承德二中一模)已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．

解：(1)连接FO，易证OF∥AB.∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE.又∵OE＝OC，∴OF是线段CE的垂直平分CE，∴FC＝FE，∴∠FEC＝∠FCE.∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE.∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，即∠OCE＋∠FCE＝90°，∴∠OEC＋∠FEC＝90°，即∠FEO＝90°，∴EF为⊙O的切线；
(2)∵⊙O的半径为3，∴AO＝CO＝EO＝3.∵∠EAC＝60°，OA＝OE，∴∠EOA＝60°，∴∠COD＝∠EOA＝60°.∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3，∴CD＝3eq\r(3).∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，CD＝3eq\r(3)，AC＝6，∴AD＝3eq\r(7).

圆与相似

【例2】如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上的任意一点(不与点A，B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.
(1)弦长AB＝________；(结果保留根号)
(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；
(3)当AC的长度为多少时，以A，C，D为顶点的三角形与以B，C，O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．
【思路分析】(1)结合垂径定理过点O作BC的垂线，再由特殊直角三角形得eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(3),2)OB＝eq\r(3)，则AB＝2eq\r(3)；(2)结合“三角形的外角定理”和“同圆或等圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半”即可解答；(3)首先