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(完整word版)用蒙特卡洛方法估计积分方法与matlab编程实现
(完整word版)用蒙特卡洛方法估计积分方法与matlab编程实现
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用蒙特卡洛方法估计积分
方法及matlab编程实现
专业班级：材料43
学生姓名：王宏辉
学号：2140201060
指导教师：李耀武
完成时间：2016年6月8日

用蒙特卡洛方法估计积分
方法及matlab编程实现
实验内容：
1用蒙特卡洛方法估计积分，和的值，并将估计值与真值进行比较。
2用蒙特卡洛方法估计积分和的值，并对误差进行估计。
要求：
（1）针对要估计的积分选择适当的概率分布设计蒙特卡洛方法；
（2）利用计算机产生所选分布的随机数以估计积分值；
（3）进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性；通过计算均方误差（针 对第1类题）或样本方差（针对第2类题）以评价估计结果的精度。
目的：
（1）能通过MATLAB或其他数学软件了解随机变量的概率密度、分布函数 及其期望、方差、协方差等；
（2）熟练使用MATLAB对样本进行基本统计，从而获取数据的基本信息；
（3）能用MATLAB熟练进行样本的一元回归分析。
实验原理：
蒙特卡洛方法估计积分值，总的思想是将积分改写为某个随机变量的数学期望，借助相应的随机数，利用样本均值估计数学期望，从而估计相应的积分值。
具体操作如下：
一般地，积分改写成的形式，（其中为一随机变量X的概率密度函数，且的支持域)，）;令Y=h(X)，则积分S=E（Y）；利用matlab软件，编程产生随机变量X的随机数，在由，得到随机变量Y的随机数，求出样本均值，以此估计积分值。
积分的求法与上述方法类似，在此不赘述。
概率密度函数的选取：
一重积分，由于要求的支持域，为使方法普遍适用，考虑到标准正态分布概率密度函数支持域为，故选用。
类似的，二重积分选用，支持域为。
估计评价：
进行重复试验，通过计算样本均值以评价估计的无偏性；通过计算均方误（针对第1类题，积得出）或样本方差（针对第2类题，积不出）以评价估计结果的精度。
程序设计：
依据问题分四类：第一类一重积分；第一类二重积分；第二类一重积分，第二类二重积分，相应程序设计成四类。
为了使程序具有一般性以及方便以后使用：一重积分，程序保存为一个.m文本，被积函数，积分区间均采用键盘输入；二重积分，程序主体保存为一个.m文本，被积函数键盘输入，示性函数用function语句构造，求不同区域二重积分，只需改变function函数内容。
编程完整解决用蒙特卡洛方法估计一重、二重积分值问题。
程序代码及运行结果：
第一类一重积分程序代码：
%%%构造示性函数
functionI=I1(x,a,b)
ifx>=a&&x<=b
I=1;
else
I=0;
end
%保存为I1.m
%%%%%%%%%%%%%%%%
%%第一类一重积分,程序主体：
%保存为f11.m
functionoutf11=f11()
g1=input('输入一元被积函数如x.*sin(x):','s')%输入被积函数
g1=inline(g1);
a=input('输入积分下界a:');%输入积分上下限
b=input('输入积分上界b:');
Real=input('积分真值:');%输入积分真值
fprintf('输入样本容量10^V1--10^V2:\r')
V=zeros(1,2);
V(1)=input('V1:');%输入样本容量
V(2)=input('V2:');
form=V(1):V(2)%样本容量10^m1--10^m2
n=10^m
forj=1:10
x=randn(1,n);
fori=1:n
t1(i)=I1(x(i),a,b);%示性及求和向量
end
y1=g1(x)*((pi*2)^0.5).*exp(x.^2/2);
Y1(j)=y1*t1'/n;%单次实验样本均值
end
t=ones(1,10);
EY=Y1*t'/10;%十次均值
D=abs(EY-Real);%绝对误差
RD=D/Real;%绝对误差
d=0;
fori=1:10
d=d+(Y1(i)-Real)^2;
end
d=d/(10-1);
EY1(m-V(1)+1)=EY;%样本容量为10^m时的样本均值
D1(m-V(1)+1)=D;%绝对误差
RD1(m-V(1)+1)=RD;%绝对误差
MSE1(m-V(1)+1)=d;%方差
end
Real,EY1,D1,RD1,MSE1
outf11=[EY1;D1;RD1;MSE1];%存放样本数字特征
%保存为f11.m
运行结果：
%估计积分，积分真值为1
m=f11
输入一元被积函数如x.*sin(x):x.*s