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理工2010.05（下旬刊）
《几何画板》在空间解析几何教学中的应用

张书陶韩亚洲
（中国计量学院理学院数学系浙江·杭州310018）

中图分类号：G424文献标识码：A文章编号：1672-7894（2010）15-092-02

摘要本文介绍了几何画板在空间解析几何教学中外、圆内以及当其与圆心重合时所成的包络线以及相关方
作为辅助教学工具对教学手段、教学内容、教学方法等方面程。首先通过几何画板追踪垂直平分线所成轨迹的包络线，
所发挥的积极作用。无须重复绘图，只需要将定点C从圆外逐渐向圆内移动，最
关键词空间解析几何几何画板教学后移到圆心O；在移动的过程中我们可以清楚地看到：当点
C在圆外时，轨迹的包络线为双曲线，如图1；当C到圆内
解析几何是大学数学专业一门重要的基础课。它为代时，轨迹的包络线变为椭圆，如图2；当点C和圆心点O重
数提供了几何模型，也为物理学和工程技术提供了必要的合时，轨迹的包络线变为圆，如图3。
数学工具。解析几何的基本思想是用代数的方法来研究、解
决几何问题，为了把代数运算引入到几何中来，最根本的做
法就是把空间的几何结构有系统地代数化、数量化。其主要
内容是以矢量为工具，把点用坐标来表示，把曲线、曲面用
方程来表示，研究在坐标变换下图形的不变性质和不变量。
图
但是在教学过程中，常规的教学工具（如黑板，粉笔，圆1图2图3
规和直尺等）作图或是演示都有一定的局限性，不能生动而而对于线段BC的垂直平分线L的轨迹的包络线方程，根
形象地把图形展示给学生；多媒体幻灯虽然可以事先把一据其所成的轨迹图形可以比较清楚的构造出来(见参考文献[2])。
些通过软件完成的几何图形展示出来，但是也无法达到动1.2旋转曲面及其方程
态地、任意地展示的目的，更多的时候无法揭示事物变化过定义：一条空间曲线绕一条定直线旋转所产生的曲面
程中的规律，《几何画板》就是一个可以很好地解决以上难称为旋转曲面。曲线称为旋转曲面的母线；定直线称为旋转
题的辅助教学工具。曲面的旋转轴，简称轴；母线上的点旋转所得的圆称为纬
《几何画板》是一个适用于几何（平面几何，解析几何，射圆；过轴的半平面与旋转曲面的交线称为经线。
影几何，立体几何）部分物理天文教学的专业学科优秀平台
、、在空间直角坐标系下，设直线l:x-x0=y-y0=z-z0,空
软件，它能辅助教师在教学中使用现代化教育技术并进行教mnp
（）
学试验，也可以帮助学生在实际操作中把握学科的内在实F1x,y,z=0
间曲线:,求以为l轴，为母线的旋转曲面。
Γ!（）Γ
质，培养其观察能力、解决问题的能力并发展其思维能力。它F2x,y,z=0
点（）在旋转曲面上当且仅当点在过母线
代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向[1]。Mx,y,zSMΓ
上某一点的（）纬圆上，因而与到轴上一点
另外，《几何画板》还可以突出函数图形上重要的几何M1x1,y1,z1M1Ml
（）的距离相等，且与垂直，于是有
性质。通过将比较简单的动画和运动通过定义、构造和变换p0x0,y0,z0M1Ml
"（）
得到所需的复杂运动,并利用轨迹跟踪功能清晰地了解目标$F1x1,y1,z1=0
$
$
的运动轨迹这样就可以根据所成的轨迹来更加合理地建立$（）
,$F2x1,y1,z1=0
#
轨迹方程（$）2（）2（）2（）2（）2（）2
。$x-x0+y-y0+z-z0=x1-x0+y1-y0+z1-z0
$
$
研究内容和方法$（）（）
1%mx-x1+ny-y1=0
由方程组中消去，得一个三元方程（），它
本文拟解决两个问题:（1）已知C点是定点,点B是半x1,y1,z1Fx,y,z=0
径为R的定圆⊙O上的动点，则线段BC的垂直平分线L的就是旋转曲面S的方程。
轨迹的包络线轨迹及其方程；（2）一条空间直线Г绕一条定这里我们选取空间一已知直线为木线、空间另外一条
直线2旋转所产生的旋转曲面：根据两条直线的位置关系直线为轴所成的旋转曲面为例。根据空间两直线的位置关
（相交，平行以及异面）得到不同的曲面图形及其代数方程。系：相交、平行以及异面,所得的旋转曲面有三种类型,分别
解决以上问题，可以分为以下步骤：首先通过几何画板为圆锥面、圆柱面和旋转单叶双曲面（如下图）。对于前两种
构造图形轨迹，然后根据所得的轨迹图形构造出相应的轨情况，直观上很容易理解，不再赘述。
迹方程，最后检验几何画板的结果与解析几何所得结果是而第三种情况———两异面直线（一条做轴、另一条做母
否一致。线）通过旋转得到的旋转单叶双曲面：首先看到了曲面本身
1.1包络线所反映的图形；其次也说明该旋转曲面是由直线运动所生
对于问题(1)，从三个角度来讨论该定点所在的位置：圆成的曲面———直纹面[3]；利用几何画板的动态描述，让学生

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