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反比例函数中k的几何意义及应用【完整版】
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例析反比例函数中k的几何意义及应用
陆智勇
O
B
P(m,n)
x

o
A
y
A
P(m,n)
图①
x
y
反比例函数中k的几何意义就是反比例函数图象上的任意一点的横坐标与纵坐标的乘积都等于比例系数K的值，如图①所示.过P作x轴、y轴的垂线PA、PB，垂足为A、B，连结OP,那么有〔１〕=PA·PB=|y|·|x|=|xy|=|k|；〔２〕.能灵活运用这两个结论解有关反比例函数的问题，会给解题带来很多方便。现略举说明。
求交点坐标和面积
例1如图②，反比例函数一次函数
的图象交于Ａ、Ｂ两点。
A
y
O
B
x
M
N
图②
〔１〕求Ａ，Ｂ两点的坐标；
〔２〕求△ＡＯＢ的面积。

C
D
A
y
O
B
x
M
N

图③

C
A
y
O
B
x
M
N
D

图④

B
A1
o
y
x
A
C
B1
C1
S1
S2
S3
图⑤
二、比拟面积的大小
例2如图⑤，在＞0〕的图像上有三点A,B,C,经过三点分别向轴引垂线，交轴于三点，连接OA，OB，OC，记△
△△的面积分别为那么有.
A.S1=S2=S3B.S1<S2<S3
C.S3<S1<S2D.S1>S2>S3
解:由性质(1)得

图⑥
三、确定解析式
例3如图⑥，反比例函数﹤0
的图象经过点A〔m〕，过A作AB⊥轴于点B，
〔1〕求K和m的值.
(2)假设过A点的直线y=a+b与轴交于点C，且∠ACO=30求直线的解析式.
解:(1)由性质(2)得
∴

(2)①连接那么在Rt△AB中，
∵AB=2，∠AO=30

②连接那么在Rt△AB中，
∵AB=2，∠AO=30

四、求函数值
图⑦
例4两个反比例函数在第一象限内的图象如图⑦所示,在反比例函数的图象上，它们的横坐标分别是纵坐标分别是1，3，5，…,共2005个连续奇数,分别作y轴的平行线，的图象的交点依次
…,那么.
解:在反比例函数的图
象上，它们的纵坐标分别取1,3,5…,4009时相应的横坐标分别
为…,函数且这些点的横坐标分别与点横坐标相同,横坐标是所以纵坐标是=
五、确定K的取值范围
图⑧
例5如图⑧所示，一次函数和反比例函数(K≠0)的图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B.
(1)求实数K的取值范围;
(2)假设△AOB的面积S=24,求K的值.

依据题意得
△=64-4K＞0,∴K＜16.
设两公共点的坐标为
又＞0,＞0,∴+=8＞0,=K＞0.
∴实数K的取值范围为0＜K＜16.
(2)在y=-+8中，令=0，得y=8，∴OC=8.
-)
=
∴
∴K=7.
六、确定自变量的取值范围
例6如图⑨是一次函数和反比例函数的图象，观察图象写出＞时，的取值范围.
解:由图⑨得
K＞0
M＞0

图⑨

又∵＞，
的图象在一、三象限，
∴第三象限的取值范围为-2＜＜0.
第一象限的取值范围为＞3.
∴图象＞时，的取值范围为-2＜＜0或＞3.
七、求点的坐标
例7如图⑩所示，正方形OABC、正方形ADEF的顶点A、D、C在坐标轴上，点F在AB上，点B、E在函数〔＞0〕的图象上，那么点E的坐标是〔〕.
图⑩

解：连接OB，那么
连接OE，那么设

∴点E的坐标是