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高斯—克吕格投影正反算公式的应用

【摘要】高斯-克吕格正算公式是把大地坐标换算成高斯-克吕格投影平面
上的直角坐标，而高斯-克吕格反算公式是把高斯-克吕格投影平面直角坐标换算
到椭球面上的大地坐标。为了城市坐标与国家统一坐标取得一致，需要进行城市
坐标与国家坐标之间的换算，高斯-克吕格正反算公式为不同投影带之间的坐标
换算提供了精确的坐标公式。

【关键词】高斯-克吕格投影坐标中央子午线

1引言

目前，大比例尺地形图广泛应用在市政建设、路桥、管道铺设和城市规划等
工程建设中。为了满足城市大比例尺1：500地形测图精度要求，《城市测量规范》
要求，控制点之间的投影长度变形不得大于2.5cm/km。当控制点之间的长度变
形大于2.5cm/km时，要采取适当的措施进行改化，以达到城市大比例尺1：500
地形测图精度要求。国家坐标系是6°带或3°带投影的高斯-克吕格直角坐标系，
根据它的变形规律，离中央子午线越远，所产生的投影变形越大。城市独立坐标
系的建立，通常是选择过城市的某国家控制点为地方坐标系的起算点，过这点的
经线为其中央子午线并联测国家高等级的控制点建立起来的。这样，国家坐标系
与城市独立坐标系的中央子午线存在一个差值λ。为了更好的进行数据共享，城
市平面控制坐标最理想的是和国家坐标系相统一，这就要进行城市独立坐标与国
家坐标之间的坐标换算。高斯-克吕格投影正反算公式能很好的解决不同投影带
之间的坐标换算问题。其方法是：先将已知的平面坐标，按高斯-克吕格投影反
算公式求得其大地坐标（B，L），然后根据大地纬度B和经差λ，再按高斯-克吕
格投影正算公式求得其在另一投影带中的平面坐标。

2高斯-克吕格投影正反算公式

2.1高斯-克吕格投影正算公式：

（1）

其中：，为中央子午线弧长，其计算公式为：

、、、为常数，其计算公式为：

2.2高斯-克吕格投影反算公式：

其中：。

（1）、（4）式中的N、的计算公式为：

上述诸式中，a、e分别为椭球长半径和第一偏心率，B、L分别为大地经度
和大地纬度，L0中央子午线经度，N为卯酋圈曲率半径，B、L、L0单位为弧度。

2.3（B，L）的求解

为了解算出（B，L），要先求出B0，这里采用迭代方法求解大地纬度B0，
其方法为：

①迭代初值：；

②各次迭代：；

③终止条件：。一般取为2.78*10-9度，即0.00001秒。

迭代求出大地纬度B0后，再求得大地坐标（B，L），然后用子午线弧长公
式计算出在新投影带中的子午线弧长，最后利用高斯-克吕格投影正算公式计算
出其在新投影带中的坐标。值得注意的是，迭代解算B0时，B0的单位为度。

3算例

已知某点在中央子午线L0=1200的60投影带内的坐标为：x=3717726.417，
y=-87135.574，求该点在中央子午线L0=1190时的坐标。

首先迭代计算出该点在中央子午线L0=1200的大地纬度
B0=33058′52.72705″；

然后用高斯-克吕格投影反算公式计算出该点在中央子午线L0=1190时的大
地坐标（B，L）为：B=33034′54.16840，L=119003′41.13609″；

再由子午线弧长公式计算出该点在中央子午线L0=1190的子午线弧长
3717331.634；

最后由高斯-克吕格正算公式计算出该点在中央子午线L0=1190时的平面直
角坐标为：x=3717333.325，y=5702.652。

4结论

高斯-克吕格投影正反算公式能够进行任意带之间的坐标转换，并且转换精
度高，迭代计算B0收敛速度快，效率高。该方法理论简单，容易编制程序计算，
便于掌握应用。

参考文献：

[1]肖复何.《控制测量学》[M].重庆：重庆大学出版社，1994.300-303.

[2]赵长胜.《高斯投影坐标反算的迭代算法》[J].测绘通报，2004，（3）：16-17.

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