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第8讲模糊关系 (第四章模糊关系与模糊聚类分析) 一、模糊关系 1.普通关系 (1)直积(笛卡尔积,Descartes) 定义4.1给定集合,由中元素和中元素搭配起来的所有元素对构成的集合称为与的直积,或笛卡尔(Descartes)乘积,记作,即 类似地,可定义 (2)关系 现实世界中存在各种各样的关系。“父子关系”,“师生关系”,“数的大于等于关系”… 特点:涉及两个集合,,与或者有关系,或者没关系,这就是普通关系。 定义4.2给定论域,规定一个到的关系(记作),对任意,与有关系,记作,与无关系记作,二者必居其一,且仅居其一。 当时,称为上的关系。 对元素间的搭配施加某些限制,构成的集合就是的一个子集,这种联系就是所谓关系。 定义4.2(等价定义)若,则称为到的关系。 例4.1“大于等于“关系,记作“” , 例4.2设表示教室里的全体男同学,表示教室里的全体女同学。 表示什么? 任意一个男同学和任意一个女同学组成的有序对构成的集合。 “同系”关系记为,则 ,显然。 这说明关系也是一个集合。一个男生,一个女生要么同系,要么不同系,因此同系关系也符合定义4.2。 (3)常用性质(上的关系) ①自反 ②对称 ③传递 即, 如果上的关系同时满足自反性,对称性和传递性,则称是等价关系,中的元素也称为等价。 (4)分类(聚类)问题 ① ② 称是的一个划分或者说是的一个分类。 例4.3设表示教室里全体同学,表示身高大于关系,表示性别相同关系,表示认识关系,表示年龄相等关系。检查这些关系具有哪些特性。 解:按定义,具有传递性,不具有自反性,不具有对称性;具有自反性,不具有对称性,不具有传递性;和都是等价关系。 一起举具有不同特性的关系! 2.模糊关系 (1)模糊关系概念 定义4.3称的一个模糊子集确定了一个到的模糊(F)关系(记作),隶属度表示与有关系的程度。 “朋友”关系,“信任”关系,“相像”关系… 例4.4实数域上的“远远大于”关系,记作“”,隶书函数定义为: 例4.5设某地区身高、体重论域分别为: (单位:厘米), (单位:公斤)。 下表给出了一个表示身高与体重之间相互关系,它是一个模糊关系。 表4-1身高与体重的模糊关系 40506070801400.90.70.60.30.11500.70.90.80.50.21600.60.610.80.41700.30.30.810.71800.10.20.40.71(2)关系与运算 由于F关系也是F集,所以F集之间的关系、运算以及性质对它一样成立。如: ①相等 ②包含 ③并 ④交 ⑤余 ⑥分解定理 其中,称为截关系。 是普通关系,,有 此时称与在水平上有关系,否则称为无关系。 (3)F矩阵 ①定义4.4设,,是到的一个模糊关系。以为第行,第列元素构成的矩阵称为F矩阵,记作 模糊矩阵也是普通矩阵,它表示从到的一个模糊关系,元素代表有关系的程度。 模糊矩阵就是模糊关系,也是模糊集合,因此前面关于模糊关系(集合)的包含、相等、截集、并、交、余等定义、运算性质,以及分解定理等对模糊矩阵依然有效,不需要重新定义,只不过表现形式有所不同。 到的全体F矩阵记为,特别地,有限论域上的全体F矩阵记为。部分性质如下: 设,则有: ; ; ; ; ; ; ,其中; 。 例4.6设 则有: , 显然。 3.模糊关系的对称性与自反性 (1)对称F关系 ①定义 定义4.5设,令,则称为的转置关系。 当论域有限时,上面定义为: 称为的转置矩阵。 定义4.6,若,则称为对称矩阵(F关系)。 例4.7设 则是对称矩阵。 举对称模糊关系和非对称模糊关系“朋友”?“相像”?“信任”? ②转置关系性质 <a>; <b>; <c>; <d>,则是对称的; <e>,对称,,则 由性质(d),(e)得,包含的对称矩阵一定包含,故是包含的最小对称矩阵。 ③对称闭包 定义4.7包含具有对称性的最小模糊关系称为的对称闭包,记作。 <a>,且 <b> ④对称闭包求法 性质(d)和(e)说明是的对称闭包。即 (2)自反关系 ①定义4.8若 则称为上的自反(F)关系。 论域有限时称为自反(F)矩阵。 是自反矩阵 其中 为单位矩阵。 自反闭包 定义4.9包含具有自反性的最小模糊关系称为自反闭包,记为。 <a>,且 <b> 自反闭包求法 (3)截矩阵 ①定义4.10设,,记 其中 则称为的截矩阵。 截矩阵就表示截关系。 可以类似定义。 例4.8设 若取,则 若取,则 ②性质 (1) (2) 注意: 第九讲模糊关系的合成与传递性 二、F关系的合成 1.合成运算 (1)例子和定义 例4.9设表示一群人,表示“兄弟”关系,表示“父子”关系。若且,那么与有什么关系? 显然,应该是“