Z_连通代数偏序集及其范畴.pdf

第23卷第2期模糊系统与数学Vol.23,No.2

2009年4月FuzzySystemsandMathematicsApr.,2009

文章编号:1001-7402(2009)02-0046-06

Z-连通代数偏序集及其范畴

阮小军1,徐晓泉2

(1.南昌大学数学系,江西南昌330031;
2.江西师范大学数学与信息科学学院,江西南昌330022)

摘要:对于Z-连通集系统,本文引入了Z-连通代数偏序集的概念,证明了Z-连通代数偏序集范畴对偶
等价于强代数格范畴的一个满子范畴。
关键词:Z-连通集系统;Z-连通连续偏序集;Z-连通代数偏序集;强代数格
中图分类号:O153文献标识码:A

1引言及预备

由于Domain理论具有理论计算机科学和数学的双重背景,因而自它诞生以来一直受到人们的关
注,其中研究的一个重要方面是尽可能地将Domain理论推广到更为一般的格序结构上去。在这方面,
Domain理论框架到一般子集系统Z的拓展无疑受到了人们的广泛兴趣[1-10],而其中有关范畴性质的
研究更加受到关注[2,11-12]。
在文[11]中,尚云和赵彬讨论一种特殊的子Z-子集系统——Z-连通集系统,引入了Z-连通连续偏
序集的概念,讨论了它的一些基本性质,特别地,文[1]证明了Z-连通连续偏序集范畴对偶等价于完全
分配格范畴的一个满子范畴。
本文沿用文[11]的思路,对于Z-连通集系统,引入了Z-连通代数偏序集的概念,证明了强代数格
L同构于某Z-连通代数偏序集之Z连通闭集格当且仅当L中有足够多的Z连通不可约元;基于此,证明
了连通代数偏序集范畴对偶等价于强代数格范畴的一个满子范畴。
首先,我们给出本文所需要的一些基本概念与记号,读者可参考文献[7]和文献[12]。
设P为偏序集,记↓x={y∈P:y≤x},↓A=∪↓a;对偶地定义↑x和↑A.文中用SET表
a∈A
示集合范畴。
[11]
定义1.1设P为偏序集,≠BP,若x,y∈B,!x=x1,x2,⋯,xn=y,使得xi∈B

且xi,xi+1可比较,则称B是连通的。此时x与y称为在B中连通。
定义1.2[11]设P为偏序集,A为P中的连通子集构成的集族。A称为是连通的,若B,C∈
A,存在有限集族{A1,A2,⋯,An}A使A0=B,An=C,且并对每一个i,AiAi+1或Ai+1Ai.
定义1.3[11]记POS为以偏序集为对象,保序映射为态射的范畴。设是POS上的一个子范畴。

收稿日期:2007-10-09;修订日期:2008-01-05
基金项目:国家自然科学基金资助项目(10331010;10861007);高等学校全国优秀博士学位论作者专项资金资助项目(2007B14);
江西省自然科学基金金资助项目(0411025;2007GZS0179);南昌大学基金资助项目;江西师范大学博士基金资助项目
作者简介:阮小军(1976-),男,江西武宁人,南昌大学数学系讲师,研究方向:格论,domain理论;徐晓泉(1961-),男,江西乐平人,
江西师范大学数学与信息科学学院教授,博士生导师,研究方向:拓扑论,格论,domain理论。
第2期阮小军,徐晓泉:Z-连通代数偏序集及其范畴47

上的一个连通集系统Zc是一个函子Zc:→SET,满足:

(1)A∈ob(),Zc(A)是A的连通子集构成的集族;

(2)A∈ob(),x∈A,↓x∈Zc(A);

(3)若f:A→B是中的态射,则D∈Zc(A),↓Zc(f)(D)=↓f(D)∈Zc(B);

(4)A∈ob(),Zc(A)∈ob(),其中Zc(A)的序是通常的包含关系。

c中的元素称为c集。记↓∈c中的元素称为c理想。
Z(A)Z-IZc(A)={D:DZ(A)},IZc(A)Z-
本文中仅考虑POS上的连通集系统。
[11]
定义1.4偏序集A称为Zc-完备的,若D∈Zc(A),∨D存在。易知A是Zc-完备的当且仅

当A的每个Zc-理想在A中上确界存在。
[11]
定义1.5连通集系统Zc称作并完备的,若A∈ob(),∈Zc(IZ(A)),∪∈IZ(A),
DcDDc
且∪D=∨D.
以下总假定在POS上给定了一个并完备的连通集系统。
[11]
定义1.6设A,B是Zc-完备偏序集,f:A→B是映射,若Zc-集D,f(∨D)=∨f(D),则

称f是保Zc-集的并。易知f是保Zc-理想的并当且仅当f是保Zc-集的并。
下述引理的证明是直接的。

引理1.1设f是保Zc-集的并,则f是保序的,即x≤y∀f(x)≤f(y)。
[11]
定义设是c完备偏序集∈称c记为Z若∈c
1.7AZ-,x,yA.xZ-belowy,x#cy,DZ(A),

y≤∨D∀!d