病态问题解算的直接正则化方法比较.pdf

第28卷第4期贵州大学学报(自然科学版)VOl．28NO．4
2011年8月JOuRnalOfGuizhOuUniVeRsity(NatuRalSciences)Aug．2011

文章编号1000－5269(2011)04－0029－04
病态问题解算的直接正则化方法比较＊

范千1，2*，方绪华1，范娟3
(1．福州大学土木工程学院，福建福州350108;2．江西省数字国土重点实验室，江西抚州344000;3．安徽省无为六洲中学，安徽巢湖238300)

摘要:为了解算病态问题，需正确选择适合的正则化方法，为此分析了截断奇异值法和Tik-
hOnOV正则化方法的异同点。在此基础上，阐述了L曲线法和GCV法确定最优正则化参数的基
本原理。通过数值算例分析表明:截断奇异值法和TikhOnOV法可以有效消除观测方程的病态
性;利用L曲线法和GCV法不仅可以对TikhOnOV方法中的连续正则化参数进行合理确定，而且
还可以准确确定截断奇异值法中的离散正则化参数。最后，比较研究了四种组合方法的正则化
解的精度和稳健性。
关键词:正则化方法;截断奇异值法;TikhOnOV法;L曲线;GCV
中图分类号:P207文献标识码:A

病态问题在大地测量领域是广泛存在的，例如成的四种不同组合方法在病态问题解算中的应用，
工程控制网平差、GPS快速精密定位［1］、地球物理并以算例进行验证比较，以便为实际应用提供合理
［2］［3］
反演以及重力场求解等方面都不可避免地存的选择依据。
在病态问题病态问题主要表现在其解极不稳定，
。1病态观测方程解算的直接正则化
与真实值相差较远，导致成果质量降低且极不可
方法
靠。为了对病态问题进行有效解算，许多学者提出
对于观测方程:
和发展了各种方法，其中最具影响的是正则化方
L=AX+Δ(1)
法。正则化方法可分为直接正则化方法与迭代正m×1m×nn×1m×1
则化方法。大地测量中最常采用的直接正则化方式中:L为观测值;A为设计矩阵;X为待估参数;
［4，5］为噪声，(，2)
法有截断奇异值(TSVD)方法与TikhOnOV正则ΔΔ～N0σ0I．
化方法［6］。而迭代正则化方法［7］如LandwebeR迭其最小二乘(LS)解为:
代法和共轭梯度法也有一些应用。考虑到目前仍X^=(ATA)－1ATL(2)
没有一种适合所有病态问题解算的最优正则化方当观测方程病态时，由于(2)式中的法矩阵
，T
法因此对不同的直接正则化方法进行比较研究是AA的条件数非常大，导致求逆极不稳定。对矩阵
一项具有重要意义的工作［］
。A进行奇异值分解(SVD)9:

在选择一种直接正则化方法后，其正则化参数n
TT()
的确定将非常重要，它是能够改善病态问题解的性A=U∑V=∑uiσivi3
i=1
能的关键。目前，正则化参数的选取准则主要有岭式中，(，，)和(，，)分别为
U=u1…umV=v1…vn
迹法［8］曲线法［9］广义交叉检验()法［10］
、L、GCV和维正交阵，且满足TT;
m×mn×nUU=VV=In
等。本文将阐述TSVD方法与TikhOnOV正则化方
=diag(σ，…，σ)，σ≥…≥σ＞0为A的
法的基本原理，重点探讨L曲线法和广义交叉检∑1n1n
验法的特点，并在此基础上，对比分析由上述两种奇异值。相应地，可得到最小二乘解的奇异值分解
直接正则化方法以及两种正则化参数确定方法形式为:

*收稿日期:2011－05－20
基金项目:江西省数字国土重点实验室开放基金资助项目(DLLJ201102);福建省教育厅科技资助项目(JA10045);福建省自然科学
基金资助项目(2009J05102);福州大学科研启动基金资助项目(022355)
作者简介:范千(1981－)，男，汉族，安徽无为人，讲师，工学博士，研究方向:变形监测数据处理及GPS定位技术，Email:fan-
[e-mail]．
*通讯作者:范千，Email:[e-mail]．
·30·贵州大学学报(自然科学版)第28卷

nuTL定差异。TSVD法完全消除了小奇异值项对解的
^i()
X=∑vi4
i=1σi影响，而TikhOnOV法只是将这种影响进行了削弱。
()，，
从4式可以看出当i很高时对应很小的2确定正则化参数的方法
σ，此时即使观测值中含有较小的误差都将使得
i2．1L曲线法
最小二乘解偏离真值较远。为了避免这种现象，引
L曲线法的基本原理是对不同的正则化参数
入滤波因子f，用以抑制病态解中的误差分量项，
i^
从而求得近似解:绘出其残余范数‖AX－L‖与正则化解范数
nuTL‖X^‖之间的二维曲线图，由于该曲线通常成L
i()
Xreg=∑fivi5
i=1σi形，其拐角即是正则化参数的最优值