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“复合函数定义域的求法”例题课后辅导
河池学院数学系07数应1班卢红兰2007104227
在每一个学校，任何时候教师都会遇到课堂上讲新课学生很容易懂，老师上课也很轻松，但学生课后做练习就感觉习题很难，教师课后辅导起来也感到比较吃力，尤其是高中，对于基础比较差的班级，学生总会向老师反应：课本那么简单，为什么练习那么难？老师课后辅导就会感觉到自己无论怎么讲，学生都不太理解，实习期间我就遇到了这样的问题。
一、背景
实习中我所带的班级数学基础比较差，指导老师上了“函数定义域”这节新课后，由于时间关系，配套练习《导与练》没有得讲解。这节内容尤其是“复合函数定义域的求法”比较难理解，对于高一初学者来说，做这节相应练习是有一定的难度，所以自习课很多学生都问了我下面的这三道题，在给他们辅导过程中我发现无论用什么方法讲解，他们都不太明白，使我不得不对自己的辅导效果进行反思。
二、辅导实录
例1若函数的定义域［-1，2］，求的定义域。
T：所谓的定义域是指自变量的取值范围，的定义域是指里边的的取值范围，故由已知的定义域为［-1，2］，得，再解这个不等式就行了。
S：为什么由的定义域为［-1，2］就得到？
T：因为中的与中的地位是一样的。
S：明明一个是，一个是，怎么会一样呢？
T：大家不要只看形式，而是要理解它们的含义，那与是表示同一函数吗？
S：是。
T：那就把看做一个整体，即令，而与的取值范围是一样，只是符号不一样而已，即知道，那就是，再从中把解出来就行了。
S：还是有点模糊。
T：……
已知的定义域为［0，3］，求的定义域。
T：的定义域是指的取值范围，而的定义域是指中的取值范围，又因为的定义域为［0，3］，所以，则，故的定义域为［1，2］。
S：老师，我们是这样做的，的定义域为［0，3］，，，故的定义域为［-1，8］。
T：这样是不对的，大家把的定义域理解错了，要知道的定义域是指里边的自变量的取值范围，而不是的取值范围。
S：那刚刚例1不是说可以把括号里的复合函数看做一个整体吗？
T：例1和例2是不一样的，它们恰好反过来，例1是已知的定义域去求复合函数的定义域，而例2是已知复合函数的定义域去求的定义域，要注意区分。
S：一会儿把它看做一个整体，一会儿不要，感觉乱乱的，老师你再讲一遍吧。
T：……
已知函数的定义域为［1，3］，求函数的定义域。
T：的定义域是指的取值范围，要求的定义域就先把的定义域求出来，再从中把解出来。即的定义域为［-1，7］，由解得的定义域为［-1,5/3］。
S：由已知不是知道了的取值范围为了吗？为什么还要换来换去再来求的取值范围呢？
T：这里中的与中的所表示的含义是不一样的。
S：为什么呢？不都是么？
T：确实都是，但它们所表示的含义不一样，大家不要总去看它们的形式，而是要理解代表的是什么，只要理解了例2就知道例3怎么做了，例3只是换了一种问法，大家要学会变通，学会运用。
S：老师，我们都不理解复合函数的定义域
T：……
三、辅导效果
上述“复合函数定义域的求法”例题辅导，这三道题我一对一辅导后，有些学生理解了，也有些学生不理解，即使一些学生会做了这三道题，但如果遇到类似的题，只要题目稍微改变，他们就不会做了。同类的问题我辅导了多次，强调了多次，学生还是有些模糊，结果并没有达到我预期的目标。从辅导中有一点收获，即学生做练习的积极性提高了。
四、辅导反思
我认为自己对上述数学解题过程中有一些是数学操作代替了数学理解，以致有些学生不太理解，数学操作不是真正意义上的理解，其充其量只能算是一种“训练”。我也请教过几个指导老师，问他们如何突破这一难点，如何讲解才能使学生理解。指导老师给我的建议是，让学生多做练习，多总结，做多了自然就理解了，因为这一内容较抽象，学到高三后，再回来做这些题，就感到很简单了。之后我尝试了几种方法，还是收不到良好的效果，我想是不是这个内容真有那么难，还是当前的方法不适合这个层次的学生，目前我还是没有想出解决这类问题的更好方法。辅导这类问题不仅仅是在我实习的班级出现，其它班级的老师在辅导过程中也遇到了同类的问题，那么我们应该怎样改进才能使这类问题简单化，这是个值得大家共同探讨的问题。
（注：文中用T表示老师，S表示学生）