2012年全国各地中考数学试题分类解析汇编：精选压轴题(5....doc

PAGE\*MERGEFORMAT15

2012年各地中考数学压轴题精选31~40_解析版
【31.2012娄底】
24．已知二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C，且满足．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．

分析：
（2）利用平行四边形的性质构造全等三角形，根据全等关系求得P点的纵坐标，进而得到P点的横坐标，从而求得P点坐标．
解答：解：（1）∵二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，
令y=0，即x2﹣（m2﹣2）x﹣2m=0①，则有：
x1+x2=m2﹣2，x1x2=﹣2m．
∴===，
化简得到：m2+m﹣2=0，解得m1=﹣2，m2=1．
当m=﹣2时，方程①为：x2﹣2x+4=0，其判别式△=b2﹣4ac=﹣12＜0，此时抛物线与x轴没有交点，不符合题意，舍去；
当m=1时，方程①为：x2+x﹣2=0，其判别式△=b2﹣4ac=9＞0，此时抛物线与x轴有两个不同的交点，符合题意．
∴m=1，
∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2．
（2）假设在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形．
如图所示，连接PA．PB．AC．BC，过点P作PD⊥x轴于D点．
∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，
∴A（﹣2，0），B（1，0），C（0，2），∴OB=1，OC=2．
∵PACB为平行四边形，∴PA∥BC，PA=BC，
∴∠PAD=∠CBO，∴∠APD=∠OCB．
在Rt△PAD与Rt△CBO中，
∵，∴Rt△PAD≌Rt△CBO，∴PD=OC=2，即yP=2，
∴直线解析式为y=x+3，∴xP=﹣1，∴P（﹣1，2）．
所以在直线y=x+3上存在一点P，使四边形PACB为平行四边形，P点坐标为（﹣1，2）．
点评：有一定的难度．
【32.2012福州】
22．(满分14分)如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；
(3)如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)．
分析(2)根据已知条件可求出OB的解析式为y＝x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标；
(3)综合利用几何变换和相似关系求解．
方法一：翻折变换，将△NOB沿x轴翻折；
方法二：旋转变换，将△NOB绕原点顺时针旋转90°．
A
B
D
O
x
y
第22题图①
A
B
D
O
x
y
第22题图②
N
特别注意求出P点坐标之后，该点关于直线y＝－x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个，避免漏解．

解答：解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3，0)、B(4，4)．
∴eq\b\lc\{(\a\al(9a＋3b＝0,16a＋4b＝4))，解得：eq\b\lc\{(\a\al(a＝1,b＝－3))．
∴抛物线的解析式是y＝x2－3x．
(2)设直线OB的解析式为y＝k1x，由点B(4，4)，
得：4＝4k1，解得k1＝1．∴直线OB的解析式为y＝x．
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m．
∵点D在抛物线y＝x2－3x上．
∴可设D(x，x2－3x)．
又点D在直线y＝x－m上，
∴x2－3x＝x－m，即x2－4x＋m＝0．
∵抛物线与直线只有一个公共点，
∴△＝16－4m＝0，解得：m＝4．
此时x1＝x2＝2，y＝x2－3x＝－2，
∴D点坐标为(2，－2)．
(3)∵直线OB的解析式为y＝x，且A(3，0)，
∴点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0，3)．
设直线A'B的解析式为y＝k2x＋3，过点B(4，4)，
∴4k2＋3＝4，解得：k2＝eq\f(1,4)．
∴直线A'B的解析式是y＝eq\f(1,4)x＋3．
∵∠NBO＝∠ABO，
∴点N在直线A'B上，
D
A
B
O
x
y
N
图1
A'
P1
N1
P2
B1
∴设点N(n，eq\f(1,4)n＋3)，又点N在抛物线y＝x2－3x上，
∴eq\f(1,4)n＋3＝n2－3n，解得：n