多元函数积分概念与性质2011.ppt

将一元函数积分学中的“分割、近似、求和、
取极限”思想推广，运用到多元函数情形。1.曲顶柱体的体积
曲顶柱体：以XOY平面上的闭区域D为底，以D的边界曲线为准线，母线平行于Z轴的
柱面为侧面，并以z=f(x,y)为顶的空间立体.近似：任取，
则以为底的小曲顶柱
体体积:设有一物体对应于空间曲面,(x,y,z)为密度
函数(连续），现要求该物体的质量m。二.数量函数积分的概念二重积分；第一型曲线积分数量函数积分的几何意义：数量函数积分的物理应用之一：三.积分存在的条件和性质.1.线性性质：5.中值定理的边界为准线，母线平行于z轴的柱面为侧面，D为底面，曲面任取，过x轴作平行于yoz坐标面的平面，此平面与曲顶柱体之交为一曲边梯形，设其面积为，则X-型区域：任一平行y轴的直线与D的边界的交点至多只有两个。DDo例1计算解法一先对y后对x积分法二先对x后对y积分解由于的原函数不能用初等函数表示，故不能先对y积分注意：在例2中，法1比法2简便，在例3中，由于被积函数中含有，只能先对x积分.因此，在把二重积分化为二次积分时，选择恰当的积分次序是非常重要的，而要计算二重积分，关键的是要化为二次积分。解原积分=解原积分例5求两个底面半径相同的正交圆柱体所围成的立体的体积。二.极坐标系下二重积分的计算o若区域D可用极坐标的不等式若区域D可用极坐标的不等式若区域D可用极坐标的不等式若区域D可用极坐标的不等式解令显然而例8将下列二次积分化为极坐标形式下的二次积分：积分区域：D:在极坐标下，将D分为二部分表示：在极坐标下，D分为二部分表示：例9求Bernoulli双纽线由的周期性得图形的对称性，而且当从
增加到时，由零增加到，再减少
到零，于是可得如图所示的双纽线图形。（2）变换T：把uov平面上的区域一对一的变为D，例10计算例11求由曲线

所围区域D的面积S。于是例12求椭圆围成区域的面积A。作业