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浅析在解题教学中如何培养学生发散思维能力
江苏东台市三仓中学刘加元（224231）
什么是发散思维？它是人们在解决一个问题时产生尽可能多的选择方案的思维过程，它是一种不依常规寻求变异，从多方面寻求答案的思维方式。
美国著名心理学者吉尔福特认为，它是有三个特征：流畅性、变通性和独特性。流畅性是指心智活动畅无阻，灵敏迅速，在短时间内表达较多的概念；变通性是指思维能随机应变，不限于某一方面，不受消极定势的桎梏，因而能产生超常的构思，提出突破常规的想法；独特性是指从前有的新角度、新观点去认识和反映新事物，表达不同风俗的新见解。现结合实例介绍解题教学中发散思维能力的培养。
联想命题条件的变化，引出一些新命题，培养学生发散思维的创造性
以运动的观点和类比的方法，将命题的条件进行变化，引出与原命题相仿的新命题，培养学生发现新问题的能力。
例1．在椭圆上求一点P，使P与两焦点的连线互相垂直。
此题解法颇多（图略），可求得满足题意的点P有四个。把此题中的条件变换为为，锐角和钝角，探求点的变化情况，因而有下列三个命题。
1．在椭圆上有点P且为，则P点有___________个。
（8个，过程略，下同）
2．在椭圆上存在点P，使为锐角，试求P点横坐标的取值范围？
（）
3．在椭圆上存在点P，使为钝角，试求P点横坐标的取值范围？
（）。
二、联想命题结论的变化，引出一些新命题，培养学生发散思维的探索性。
在解完一道数学题后，启发学生考虑当命题的条件不变时，对命题的结论从不同角度进行联想、演变、引申，得到一些新的命题，培养学生思维的发散性。
例2．已知点A，B分别是椭圆的长轴的左、右端点，点C是椭圆的短轴的一个端点，且离心率。
（1）求椭圆方程。
（2）设直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于两点，求线段的中点到原点的距离等于时的直线方程。
解（1）椭圆方程为
（2）因为右焦点，所以当直线方程为时，，线段的中点到原点的距离为，故直线必存在斜率，将代入椭圆方程并整理得。
设则。
由题意可知：为，则
=，
故直线的方程为
如果将结论（2）进行变化，内容丰富多彩，可得出下列四个命题，（原命题条件不变）
1．是否存在直线，使满足条件的点B在椭圆上？
（存在且过程略，下同）
2．在轴上是否存在一点使的值与直线的斜率无关？

3．求的取值范围

4．求为钝角时的直线斜率的取值范围。
（）
三、联想命题解法的多样性，培养学生发散思维的多向性。
有目的地引导学生进行一题多解，对于调动学生学习的主动性和积极性，培养学生发散思维能力，开拓具有重要的意义。
例3．线段垂直于边长为的等边所在平面，且长为2，有一条直线通过点和BC中点D，另一条直线通过C点和AB中点E，求异面直线SD和CE间的距离。
通过画图分析（图略），联想求异面直线间的距离各种方法比较，似宜选择下面解法。
解法1：（线面距离法），取EB的中点P，连PD，则在平面ABC内过点C作交的延长线于点F，又，则平面，交线为。
在平面内过点C作，则，即为到平面的距离。又，在中，，即异面直线SD和CE间的距离为：。
解法2：（体积相等法），由解法1，图形观察三棱锥和，有，不难算出。
解法3：（函数极值法）在SD上取任意点M，过点M在平面SCD内作交则，过点作交于，连，设。
由，求得：
。
即时，，即异面直线的距离为。
四、联想命题的多变性，培养学生的发散思维的灵活性。
毋容置疑，探索解题途径的过程，实质上是一个不断变更问题的过程。一题多变就是培养学生发散思维的一种重要方法。
例4．7个人坐在一条长凳上，如果甲、乙两人必须坐在一起，有多少种不同的坐法？
改变此题的某些条件，可得一串排列组合题。
1．7个人并排站成一行，其中甲、乙、丙三人要站在一起，有多少种不同的站法？
2．7个人并排站成一行，其中3人女生要站在一起，4个男生也要站在一起有多少种不同的站法？
3．7个人并排站成一行，其中3个女生，4个男生，4个男生要间隔站，有多少种不同的站法？
4．7个人并排站成一行，其中甲、乙两人之间要站1人，有多少种不同的站法？
5．7个人并排站成一行，其中乙必须站在甲右边，有多少种不同的站法？
6．4只白球，3只红球摆成一排，红球全摆在一起，有多少种不同的摆法？
7．从7名男生中选出5名，从4名女生中选出2名，站成一行，有多少种不同的站法？
8．从7名男生中选出5名，从4名女生中选出2名，站成一行，其中2名女生必须站在一起，有多少种不同的站法？
培养学生的发散思维能力不是一朝一夕就能做到的，需要教师的长期引导和启迪才能形成。