空间向量法解决立体几何问题.ppt

海滨中学陈鹏如图,在四棱锥中,丄平面,丄,丄,,,学习提纲一.引入两个重要的空间向量如图表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量.如图,设a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a=0且n·b=0,则n⊥α.(1)求平面的法向量的坐标的一般步骤:例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).二.立体几何问题的类型及解法(2)直线与平面的位置关系
直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,且Lα.
①若a∥n,即a=λn,则L⊥α
②若a⊥n,即a·n=0,则a∥α.(3)平面与平面的位置关系
平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2

①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β
②若n1⊥n2,即n1·n2=0,则α⊥βD解：如图以为正半轴方向，建立空间直角坐标系，异面直线所成角的范围：题型二：线面角题型三：二面角解：如图以为正半轴方向，建立空间直角坐标系，x空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离等问题，其方法是不必添加繁杂的辅助线，只要建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量运算解决立体几何问题。这样使问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理问题完全转化为代数运算，降低了思维难度，这正是在立体几何中引进空间向量的独到之处。