高阶线性微分方程.doc

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第七节高阶线性微分方程
学习目的：掌握二阶线性方程解的结构，齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。
学习重点：齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。
学习难点：齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。
学习内容：
1、定义：方程(1)称为二阶线性微分方程。
当时称为齐次的，当时称为非齐次的。
为求解方程（1）需讨论其解的性质
2、解的性质（2）
性质1若是（2）的解，则也是（2）的解，
其中，为任意常数。
称性质1为解的叠加原理。
但此解未必是通解，若，则，那么
何时成为通解？只有当与线性无关时。
线性相关设是定义在区间内的函数，若存在不全为零的数 使得

恒成立，则称线性相关。
线性无关不是线性相关。
如：线性相关，
线性无关。
对两个函数，当它们的比值为常数时，此二函数线性相关。若它们的比值是函数时，线性无关。
性质2若是（2）的两个线性无关的特解，那么

（，为任意常数）是方程（2）的特解。
此性质称为二阶齐次线性微分方程（2）的通解结构。
如：是的两个解，又常数。因此，为的通解。
又的解亦线性无关。
则为其通解。
下面讨论非齐次微分方程（1）的解的性质.称（2）为（1）所对应的齐次方程。
性质3设是（1）的特解，是（2）的通解，则是（1）的通解。
如：，为的通解，又是特解，则的通解。
性质4设（5）式中，若分别是
，

的特解，则为原方程的特解。
称此性质为解的叠加原理。
小结：本节讲述了二阶线性方程解的结构，包括齐次线性方程的通解，非齐线性
方程的特解及通解的形式。