2024年河南省信阳市数学高一上学期自测试卷与参考答案.docx

2024年河南省信阳市数学高一上学期自测试卷与参考答案
一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）
1、已知集合A={x|x2−2x−3<0}，B={x|−1<x<4}，则A∩B=（）
A.−1,3B.−1,4C.0,3D.0,4
答案：A
解析：
解集合A中的不等式x2−2x−3<0。
将不等式分解为x−3x+1<0。
根据一元二次不等式的解法，确定不等式的解集。由于是一次项系数为正的开口向上的抛物线，解集为两根之间的区间，即−1<x<3。
因此，集合A={x|−1<x<3}。
确定集合B的解集。
根据题目，集合B={x|−1<x<4}。
求集合A和B的交集A∩B。
由于集合A和B的解集有部分重叠，即−1<x<3是两个集合共有的部分。
因此，A∩B={x|−1<x<3}。
2、已知全集U={x∈N|x≤5}，集合A={1,3}，B={2,4}，则A∩(∁UB)=()
A.{1,3}B.{1,2,3,4,5}C.{1,3,5}D.{5}首先，根据全集的定义，全集U={x∈N|x≤5}={0,1,2,3,4,5}。
集合A={1,3}和B={2,4}已经给出。
接下来，求集合B的补集∁UB。
补集的定义是：在全集U中但不在集合B中的所有元素组成的集合。
因此，∁UB=U−B={0,1,2,3,4,5}−{2,4}={0,1,3,5}。
最后，求集合A与集合∁UB的交集A∩∁UB。
交集的定义是：两个集合中共有的元素组成的集合。
因此，A∩∁UB={1,3}∩{0,1,3,5}={1,3}。
故答案为：A.{1,3}。
3、若函数fx={2x−1,x≤1log2x−1,x>1，则f[f52]=____．首先计算f52：
由于52>1，根据函数fx的定义，我们有：
f52=log252−1=log232接下来计算ff52：
即计算flog232。
由于log232≤1（因为32≤2，所以log232≤log22=1），根据函数fx的定义，我们有：
flog232=2log232−1利用对数和指数的性质，我们知道alogab=b，所以：
flog232=32−1=12故答案为：12。
4、若直线x+2ay-1=0与直线(3a-1)x-ay-1=0平行，则a=_______，此时这两条直线间的距离为_______．首先，两直线平行的条件是斜率相等。
对于直线x+2ay−1=0，斜率k1=−12a。
对于直线3a−1x−ay−1=0，斜率k2=3a−1−a。
由k1=k2，我们有：
−12a=3a−1−a解这个方程，我们得到：
a3a−1+2a=03a2−a+2a=03a2+a=0a3a+1=0a=0 或 a=−13但a=0时，两直线的方程都变为x=1，即两直线重合，所以a≠0。
因此，a=−13。
接下来，求两平行直线间的距离。
两平行直线方程分别为：
x−23y−1=0−43x+13y−1=0或写作：
3x−2y−3=0−4x+y−3=0取其中一条直线上的一个点，例如x=0,y=−32（从第一条直线中取得），计算该点到另一条直线的距离。
距离公式为：
d=Ax0+By0+CA2+B2其中，Ax+By+C=0是直线方程，x0,y0是直线外一点。
对于直线−4x+y−3=0和点0,−32，有A=−4,B=1,C=−3,x0=0,y0=−32。
代入公式得：
d=−4×0+1×−32−3−42+12d=−32−316+1d=9217d=91734故答案为：a=−13；91734。
5、已知函数fx={−x2+2ax,x≤1ax−1,x>1在−∞,+∞上是单调递增函数，则实数a的取值范围是()
A.(1,2]B.[1,2]C.1,+∞D.[2,+∞)
对于x≤1，函数fx=−x2+2ax是一个开口向下的二次函数。其对称轴为x=a。
由于函数在x≤1上单调递增，那么对称轴x=a必须满足a≥1，以确保函数在此区间内是递增的。
对于x>1，函数fx=ax−1是一个指数函数。
由于底数a未知，我们需要进一步分析。当a>1时，函数是递增的；当0<a<1时，函数是递减的。
由于函数在整个定义域上都是递增的，所以必须有a>1。
在x=1处，两个分段函数的值需要满足递增的条件。
f1=−12+2a⋅1=2a−1（来自x≤1的分段）
f1=a1−1=a（来自x>1的分段，但注意x=1实际上属于前一个分段，但我们可以用来检查连续性）
由于函数在整个定义域上递增，那么2a−1≤a（尽管这个不等式在a>1的条件下总是成立，但我们还是检查一下）。
更重要的是，我们需要确保在x=1的右侧，函数值不小于左侧的函数值，即a≥2a−1。
解这个不等式得到a≤2。
综合以上三点，我们得到a的取值范围是1,2。
故答案为：B.1,2。
6、已知全集U={x∈ℕ|0≤x≤5